Reise um den Mond

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Handlung

Reise um den Mond (Autour de la Lune) ist ein Roman von Jules Verne aus dem Jahre 1870. Es handelt sich um die Fortsetzung des 1865 erschienen Werkes Von der Erde zum Mond.

Der Roman beschreibt die Abenteuer der drei Astronauten Barbicane, Nicholl und Ardan, die sich in einem Projektil befinden, das mithilfe einer Kanone gewaltiger Feuerkraft von der Erde aus in Richtung Mond abgeschossen wurde. Dabei landen sie, anders als geplant, nicht auf dem Mond, sondern umfliegen diesen und stürzen schließlich in den Pazifischen Ozean. Nach ihrer Rettung werden die drei Männer auf der Erde als Helden gefeiert.(Quelle:wikipedia)

Theorie

Wen die Frage interessiert, ob man mit einer 900 Fuss (pied du roi?) langen Kanone, die mit 400 000 Pfund Schiessbaumwolle geladen ist, die notwendige Geschwindigkeit von etwa 11 km/s (ohne die Bremswirkung der Luft) erreichen kann, soll mit einer thermodynamische Betrachtung die Ausströmgeschwindigkeit der heissen Gase abschätzen. Die mittlere Beschleunigungen, um auf einer Strecke von etwa 300 m eine Endgeschwindigkeit von 11.5 km/s zu erreichen, beträgt immerhin etwa 225 km/s2. Dies erzeugt im Bezugssystem des Projektils ein Trägheitsfeld, das etwa 22600 mal stärker ist als das Gravitationsfeld auf der Erdoberfläche.

Die Reise zum Mond ist ein Dreikörperproblem, von dem Jules Vernes weiss, dass "für diese Lösung die Integralrechnung aber noch nicht weit genug fortgeschritten ist". Da wir hier numerisch integrieren, muss uns diese Frage nicht weiter beschäftigen. Nimmt man das Gravitationsgesetz und das Aktionsprinzip von Newton, kürzt sich die Masse weg. Was übrig bleibt, ist reine Kinematik, also reine Geometrie:

Gravitatiosfeldstärke: [math]\vec g = - G \frac {m}{r^2} \frac {\vec r} {r}[/math]

Superpositionsprinzip: [math]\vec g_{tot} = \sum_{i} \vec g_i[/math]

freier Fall: [math]\vec g = \vec a[/math]

SD-Modell

Das Systemdiagramm zur Berechnung der Mondreise

Die Beschleunigung des Mondes ist gleich der Feldstärke der Erde am Ort des Mondes und umgekehrt. Die Beschleunigung des Satelliten ist zu jeder Zeit gleich der Überlagerung der Feldstärken von Erde und Mond. Diese rein kinematischen Lösung erfordet für jeden der drei Körper vier Integratoren (stock, flow), also insgesamt zwölf Töpfe mit je einer Pipeline. Daneben müssen die sechs Komponenten der drei Abständsvektoren, sowie die zugehörigen Distanzen (Beträge der Abstandsvektoren) berechnet werden.

Das Systemdiagramm zeigt auf der linken Seite die x-Komponente und auf der rechten Seite die y-Komponente für die drei Körper Monde, Erde und Projektil.

Anhand diese Modells kann man gut erkennen, wie weit sich die Physik der dynamischen Systeme von der Newtonsche Punktmechanik entfernt hat. Hier werden Felder superponiert, also Feldstärken vektoriell zu einer Gesamtwirkung addiert. Diese Gesamtwirkung ergibt dann die Beschleunigung des Systems, die über zwei Stufen zur Geschwindigkeit und zum Ort aufzuintegrieren ist. Die Ideen der Bilanz, der konstitutiven Gesetze und der Rolle der Energie sind nur rudimentär vorhanden.

Erde und Mond erzeugen je ein Gravitationsfeld und jeder der drei Körper erfährt eine Beschleunigung im Feld der andern, die gleich der resultierenden Feldstärke ist. Weil hier das Feld des Projektils nicht berücksichtig wird, verletzt dieses Modell die Impulserhaltung. In der Newtonschen Formulierung garantiert das dritte Axiom die Erhaltung der "Bewegungsmenge". Nun wird gerade dieses Axiom in den meisten deutschsprachigen Lehrbüchern falsch dargestellt. Zudem vergisst man bei asymmetrischen Konfigurationen wie der hier vorliegenden das Prinzip anzuwenden. Also auch im ureigensten Anwendungsgebiet der Newtonsche Punktmechanik liefert die Physik der dynamischen Systeme mit der klaren Trennung von Bilanz und konstitutiven Gleichungen eine robustere Modellierungstechnik. Würde man bei der Modellierung mit der Impulsbilanz beginnen, könnte der im vorliegenden Modell gemachte, (sehr kleine) Fehler gar nicht auftreten.

Simulation

Die Bahn des Projektils
Bahn mit leicht veränderter Anfangsgeschwindigkeit

Parameter und Anfangsgswerte

Masse der Erde 5.97 1024 kg
Masse des Mondes 7.35 1022 kg
vx0 Erde 0
vy0 Erde -12.3 m/s
x0 Erde -4.69 106 m
y0 Erde 0
vx0 Mond 0
vy0 Mond 997 m/s
x0 Mond 3.8 108 m
y0 Mond 0
vx0 Projektil 9900 m/s
vy0 Projektil 4992 m/s
x0 Projektil 1.68 106 m
y0 Projektil 0

Erde und Mond starten auf der x-Achse. Die Anfangswerte sind so gewählt, dass der Massenmittelpunkt des Gesamtsystems ruht und im Ursprung des Koordinatensystems bleibt. Das Projektil startet am Äquator mit dem Mond im Zenit. Für eine realere Modellierung im Raum sollte man ein anderes Werkzeug wie etwa Matlab verwenden.

Verändert man die Abschussgeschwindigkeit des Projektils ein wenig, fliegt es am Mond vorbei. Die zweite Graphik zeigt die Flugbahn mit vx0 = 9950 m/s und vy0 = 4942 m/s.

Bahn von Erde, Mond und Projektis

Die unterste Graphik zeigt die Bahnen von Erde (grün), Mond (blau) und Projektil (rot). Die Radius der Erdbahn ist kleiner als der Radius der Erde. Das Projektil umrundet den Mond, wird die Erde aber verfehlen. Vielleicht gibt es eine Bahn, die auf der Erdoberfläche beginnt, den Mond umrundet und wieder auf der Erdoberfläche endet. Versuchen Sie, eine solche Bahn zu finden!

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