Impulsbilanz modellieren

Die Mechanik kennt neben der Energie zwei vektorwertige, bilanzierfähige Grössen, den Impuls und den Drehimpuls. Zerlegt man diese beiden Vektormengen bezüglich eines Koordinatensystems, erhält man sechs nicht mischbare Komponenten. Dazu kommen noch die geometrischen Eigenschaften:

• die Rotationen bilden eine nichtabelsche Gruppe
• Verschiebung und Drehung hängen zusammen
• jeder Drehimpulstransport ist von Impulsströmen begleitet
• der Drehimpulsinhalt eines Objekts hängt mit der Verteilung des Impulses zusammen.

Für zusätzliche Verwirrung sorgt dann noch das Gravitationsfeld, da dessen Wirkung von der Bewegung des Beobachters abhängt.

Zum Glück sind nicht alle mechanischen Vorgänge so komplex. Viele Bewegungsabläufe in der Technik lassen sich in guter Näherung als eindimensional Verschiebung modellieren. Dazu gehören einige typische Unfälle auf der Strasse, die Längsbewegungen von Schienenfahrzeugen oder das Einfedern des Fahrgestells beim Aufsetzen auf der Piste. Solche Bewegungen sollen nun modelliert und simuliert werden.

Aufgabenstellung

Das dynamische Verhalten von zwei bis drei Wagen oder Schlitten auf einer Rollbahn bzw. einer Linearführung ist zu modellieren, zu simulieren und zu messen. Dabei gehen Sie wie folgt vor:

1. Bahn auswählten (zur Zeit stehen vier Rollbahnen und eine Linearführung zur Verfügung)
2. Entscheid zwischen Stossprozesse oder Schwingungsvorgang fällen
3. Basis- und Ausbauvarianten festlegen
4. Basisvariante modellieren, simulieren, messen und dabei die zugehörigen Parameter und Kennlinien festlegen
5. System weiter ausbauen und Modell anpassen
6. Energiebilanz auf einer zweiten Ebene modellieren
7. Modell so erweitern, dass auch Bewegungen auf einer geneigten Bahn simuliert werden können

Das Datenerfassungs-System Labpro von Vernier, das hier verwendet wird, erlaubt die Messung der Beschleunigungen (5 g und 25 g), der Impulsströme (bis 50 N) und des Ortes (Ultraschall-Sensor).

Modellbildung

Die Impulsbilanz bildet das Rückgrat der Modelle zur Translationsmechanik. Ergänzend ist dann noch der Ort der Wagen oder Schlitten zu berechnen. Dabei kann man jedem Objekt einen eigenen Ursprung zuordnen oder alle Positionen auf das gleiche Koordinatensystem beziehen. Die Energiebilanz bildet dann die zweite Ebene.

Der Zusammenhang zwischen Impuls, Geschwindigkeit und Ort ist gegeben. Schraubenfedern verhalten sich linear-elastisch. Die Kennlinie von Gummi- und Elastomerseilen ist dagegen nicht linear. Zudem tritt eine innere Reibung auf, die einen Coulombschen und einen viskoelastischen Anteil aufweist. Stossdämpfer können als Blackbox mit Hilfe von Kennlinien oder bei bekanntem Aufbau als Whitebox modelliert werden. Die Reibung zwischen Wagen und Bahn sowie der Luftwiderstand sind adäquat nachzubilden.

Simulation

In erster Linie sind die Daten zu simulieren, die auch gemessen werden können. Berechnete und gemessene Daten sind im gleichen Diagramm darzustellen.

Die Anpassung der Simulation an die Messung erfolgt auf zwei Ebenen, die klar gegeneinander abzugrenzen sind

1. Parameter und Kennlinien beschreiben das generelle Verhalten der einzelnen Elemente. Diese Grössen sollten, sobald sie einmal angepasst worden sind, von Simulationslauf zu Simulationslauf nicht mehr verändert werden. Typische Vertreter solcher Systemeigenschaften sind die Federkonstante und die Federkennlinie.
2. Anfangsbedingungen wie Startort und Anfangsgeschwindigkeit können sich von Versuch zu Versuch ändern und sind bei jeder Simulation neu zu setzen. Anfangsbedingungen hängen mit den Startwerten in den "Töpfen" von Berkeley-Madonna zusammen (jeder Topf symbolisiert eine Zustansgrösse; zu jeder Zustandsgrösse gehört ein Startwert).

Die Simulation ermöglicht auch die Darstellung von nicht direkt messbaren Grössen, wie Prozessleistung, zugeordneter Energiestrom, Impulsaustausch zwischen Wagen und Bahn (Gleitreibung) oder Luftwiderstand. Zur Kontrolle können Eingabegrössen wie etwa eine Federkennlinie dargestellt werden. Das Verhalten dynamischer Syteme lässt sich auch im Phasenraum darstellen.

Diskussion

• Einzelne Modellierungsschritte, getroffenen Annahmen, vernachlässigte Einwirkungen und Vereinfachungen sind angemessen zu dokumentieren und zu begründen.
• Interessante Zusammenhänge sind darzustellen und soweit wie möglich zu begründen.
• Die Energieaufnahme von Federn und Dämpfern ist in geeigneter Form darzustellen.

Erklärung

Anhand dieses Modells sollen auch drei Bilder der Physik der dynamischen Systeme erläutert werden. Wählen Sie dazu eine bestimmten Zeitpunkt im Verhalten des komplexesten Ihrer Modelle aus und skizzieren Sie dazu das

• Flüssigkeitsbild
• Impulsstrombild
• Schnittbild (free body diagramm)

Beantworten Sie folgende Fragen in Ihren eigenen Worten und anhand dieser drei Bilder

• Wie hängen Kraft und Impulsstrom zusammen?
• Welche Aussagen sind in den Newtonschen Axiomen enthalten?