Winkelgeschwindigkeit

Aus SystemPhysik
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Unter der Winkelgeschwindigkeit versteht man die Änderungsrate des Drehwinkels. Als Formelzeichen verwendet man den letzten Buchstaben des griechischen Alphabets, das ω. Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist Radiant pro Sekunde oder einfach nur 1/s.

feste Achse

Rotiert ein Körper um ein feste Achse, drehen sich alle Linien auf dem Körper in gleichen Zeiten um den gleichen Winkel Δ φ. Die mittlere Winkelgeschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt Δ t ist durch den folgenden Quotienten definiert

[math]\overline{\omega}=\frac{\varphi_2-\varphi_1}{t_2-t_1}=\frac {\Delta \varphi}{\Delta t}[/math]

Den Momentanwert der Winkelgeschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für Δt gegen 0

[math]\omega=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta \varphi}{\Delta t}[/math]

Die Winkelgeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit eines Punktes auf dem Einheitskreis. Die Schnelligkeit eines Punktes auf dem rotierenden Körper ist gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abstand des Punktes von der Drehachse

[math]v=\omega r[/math]

Die Geschwindigkeit steht immer normal zur Drehachse und normal zum Abstandsvektor r.

starrer Körper

Enthält der starre Körper keinen Impuls, bleibt der Massenmittelpunkt an Ort. Die momentane Drehachse, die Gerade, auf der alle im Moment ruhenden Punkte liegen, führt unter diesen Umständen zu jedem Zeitpunkt durch den Massenmittelpunkt. Die Winkelgeschwindigkeit darf als Vektor dargestellt werden, der in Richtung der momentanen Drehachse zeigt. Für die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem starren Körper gilt

[math]\vec v=\vec\omega\times \vec r[/math]

Die Winkelgeschwindigkeit ist ein universelle Eigenschaft des starren Körpers. Zu jedem Zeitpunkt rotieren alle Linien auf dem starren Körper mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Deshalb gilt für die Geschwindigkeit zweier beliebigen Punkten A und B auf dem starren Körper

[math]\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{AB}[/math]

Die erste Formel ist ein Spezialfall der zweiten mit vA = 0.

Kontinuum

In einem Kontinuum (Gas, Flüssigkeit oder Festkörper) kann die Winkelgeschwindigkeit lokal definiert werden. Dazu bildet man aus dem Geschwindigkeitsgradienten den antisymmetrischen Tensor Ωij

[math]\Omega_{ij}=\frac{1}{2}(v_{i,j}-v_{j.i})[/math]

Die Nichtdiagonalelemente können dann wie folgt dem Winkelgeschwindigkeitsvektor ω zugewiesen werden

[math]\Omega_{ij}=\begin{bmatrix} 0 \ & -\omega_z \ & \omega_y \\ \omega_z \ & 0 \ & -\omega_x \\ -\omega_y \ & \omega_x \ & 0 \end{bmatrix}[/math]

Die Winkelgeschwindigkeit in Gestalt eines Vektors kann auch direkt aus der Geschwindigkeit berechnet werden

[math]2\vec\omega=rot(\vec v)[/math]