Lösung zu Badewanne: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 29. März 2011, 12:51 Uhr

Die zuzuführende Wärmeenergie ist gleich der Änderung der Enthalpie des Wassers [math]\Delta H = m c \Delta T[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * 25 K = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz.
Weil W₃ = W₄ = ΔH ist, ist die von der Wärmepumpe bei 50°C abgegebene Entropie S₃ gleich [math]S_3 = \frac {W_3}{T_2} = \frac {\Delta H}{T_2}[/math] = 18.86 MJ / 323 K = 58.4 kJ/K. Um die Entropie S₁ = S₂ = S₃ um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe die Energie W_WP im Umfang von [math]W_{WP} = (T_2 - T_1) \cdot S_1[/math] = 50 K * 58.4 kJ/K = 2.92 MJ oder 0.81 kWh.
Die Entropie des Badewassers nimmt um [math]\Delta S = m c \ln{\frac{T_{2e}}{T_{2a}}}[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * ln(313 K / 288 K) = 62.8 kJ/K zu. Die ausgetauschte Entropiemenge S₂, welche diese Entropiezunahme ΔS bewirkte, ist gleich S₁. Diese trägt eine Wärmeenergie von [math]W_1 = T_1 S_1[/math] = 17.77 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zu W₂ aufbringen. Deshalb wird W_WP = W₂ - W₁ = ΔH - W₁ = 18.86 MJ - 17.77 MJ = 1.09 MJ (0.3 kWh).
Die Enthalpie des Badewassers ändert sich um [math]\Delta H = m c \Delta T[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * (- 20 K) = -15.1 MJ und die Entropie um [math]\Delta S = m c \ln{\frac{T_{1e}}{T_{1a}}}[/math] = 180 kg * 4.19kJ/kg/K * ln(283 K / 303 K) = - 51.5 kJ/K. Die ausgetauschte Entropie S₁ ist gleich dieser Entropieänderung. Weil reversibel, ist S1 = S2. S2 trägt [math]W2 = T_2 \cdot S_2 = T_2 \cdot (- \Delta S[/math]) = 283 K * 51.5 kJ/K = 14.6 MJ als thermische Energie in das Grundwasser. Die Differenz W_KM = W₁ - W₂ = - ΔH - W₂ = 15.1 MJ - 14.6 MJ = 0.5 MJ ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 0.5 MJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm).

Aufgabe

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 #Die zuzuführende Wärmeenergie ist gleich der Änderung der [[Enthalpie]] des Wassers <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * 25 K = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz.
-#Weil W<sub>3</sub> = W<sub>4</sub> = &Delta;H ist, ist die von der [[Wärmepumpe]] bei 50°C abegebene Entropie S<sub>3</sub> gleich <math>S_3 = \frac {W_3}{T_2} = \frac {\Delta H}{T_2}</math> = 58.4 kJ/K. Um die Entropie S<sub>1</sub> = S<sub>2</sub> = S<sub>3</sub> um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe die Energie W<sub>WP</sub> im Umfang von <math>W_{WP} = (T_2 - T_1) \cdot S_1</math> = 2.9 MJ oder 0.81 kWh. [[Bild:Badewanne2.png]]
+#Weil W<sub>3</sub> = W<sub>4</sub> = &Delta;H ist, ist die von der [[Wärmepumpe]] bei 50°C abgegebene Entropie S<sub>3</sub> gleich <math>S_3 = \frac {W_3}{T_2} = \frac {\Delta H}{T_2}</math> = 18.86 MJ / 323 K = 58.4 kJ/K. Um die Entropie S<sub>1</sub> = S<sub>2</sub> = S<sub>3</sub> um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe die Energie W<sub>WP</sub> im Umfang von <math>W_{WP} = (T_2 - T_1) \cdot S_1</math> = 50 K * 58.4 kJ/K = 2.92 MJ oder 0.81 kWh. [[Bild:Badewanne2.png]]
-#Die [[Entropie]] des Badewassers nimmt um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_{2e}}{T_{2a}}}</math> = 62.8 kJ/K zu. Die ausgetauschte Entropiemenge S<sub>2</sub>, welche diese Entropiezunahme &Delta;S bewirkte, ist gleich S<sub>1</sub>. Diese trägt eine Wärmeenergie von <math>W_1 = T_1 S_1</math> = 17.77 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zu W<sub>2</sub> aufbringen. Deshalb wird W<sub>WP</sub> = W<sub>2</sub> - W<sub>1</sub> = &Delta;H - W<sub>1</sub> = 1.09 MJ (0.3 kWh). [[Bild:Badewanne3.png]]
+#Die [[Entropie]] des Badewassers nimmt um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_{2e}}{T_{2a}}}</math> = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * ln(313 K / 288 K) = 62.8 kJ/K zu. Die ausgetauschte Entropiemenge S<sub>2</sub>, welche diese Entropiezunahme &Delta;S bewirkte, ist gleich S<sub>1</sub>. Diese trägt eine Wärmeenergie von <math>W_1 = T_1 S_1</math> = 17.77 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zu W<sub>2</sub> aufbringen. Deshalb wird W<sub>WP</sub> = W<sub>2</sub> - W<sub>1</sub> = &Delta;H - W<sub>1</sub> = 18.86 MJ - 17.77 MJ = 1.09 MJ (0.3 kWh). [[Bild:Badewanne3.png]]
-#Die Enthalpie des Badewassers ändert sich um <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = -15.1 MJ und die Entropie um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_{1e}}{T_{1a}}}</math> = -51.5 kJ/K. Die ausgetauschte Entropie S<sub>1</sub> ist gleich dieser Entropieänderung. Weil reversibel ist S1 = S2. S2 trägt <math>W2 = T_2 \cdot S_2 = T_2 \cdot \Delta S</math> = 14.6 MJ als thermische Energie in die Umwelt. Die Differenz W<sub>KM</sub> zwischen der Enthalpieabnahme &Delta;H = W<sub>1</sub> und der Abwärme W<sub>2</sub> ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 0.5 MJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm). [[Bild:Badewanne4.png]]
+#Die Enthalpie des Badewassers ändert sich um <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * (- 20 K) = -15.1 MJ und die Entropie um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_{1e}}{T_{1a}}}</math> = 180 kg * 4.19kJ/kg/K * ln(283 K / 303 K) = - 51.5 kJ/K. Die ausgetauschte Entropie S<sub>1</sub> ist gleich dieser Entropieänderung. Weil reversibel, ist S1 = S2. S2 trägt <math>W2 = T_2 \cdot S_2 = T_2 \cdot (- \Delta S</math>) = 283 K * 51.5 kJ/K = 14.6 MJ als thermische Energie in das Grundwasser. Die Differenz W<sub>KM</sub> = W<sub>1</sub> - W<sub>2</sub> = - &Delta;H - W<sub>2</sub> = 15.1 MJ - 14.6 MJ = 0.5 MJ ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 0.5 MJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm). [[Bild:Badewanne4.png]]
 '''[[Badewanne|Aufgabe]]'''