Sputnik

Sputnik

Sputnik (russisch Спутник für Begleiter) ist von der Sowjetunion am 4. Oktober 1957 als erster künstlicher Satellit auf eine elliptische Umlaufbahn (Flughöhe zwischen 227 und 946 km über der Erdoberfläche) geschossen worden. Der Start von Sputnik 1 machte aller Welt klar, dass die Sowjetunion nun in der Lage war, mit ihren Raketen nicht nur „den Weltraum“ zu erreichen, sondern auch jeden Punkt auf der Erde. Die faktische oder auch nur scheinbare Überlegenheit sowjetischen Interkontinentalraketen gegenüber jenen der USA löste in der westlichen Welt ein Gefühl der Bedrohung aus (Sputnik-Schock).

Im Sommersemester 2007 haben Studierende des Studienganges Aviatik die Hintergründe recherchiert und den Start mit Hilfe eines systemdynamischen Werkzeuges simuliert.

Aufgabenstellung

Die Flugbahn von Sputnik 1 soll mit Hilfe der verfügbaren Daten simuliert werden. Gestartet werde am Äquator und die Umlaufbahn soll in die Äquatorialebene zu liegen kommen (zweidimensionale Bewegung). Die Erde ist als Bezugssystem zu nehmen.

Das Modell soll folgende Zusammenhänge möglichst korrekt abbilden:

• Impuls- und Massenbilanz
• Wirkung der Triebwerke
• Einfluss der Atmosphäre (Standardatmosphäre)
• Wirkung der Erde (Gravitations-, Zentrifugal- und Corioliskraft)

technische Daten

Trägerrakete R7

Die Trägerrakete besteht aus einem Bündel von 5 Einzelraketen, wobei die mittlere grösser ist, länger brennt und als zweite Stufe dient. Alle Triebwerke (5 x 4 Haupttriebwerke und 12 Steuertriebwerke) sind aus Sicherheitsgründen beim Start gleichzeitig gezündet worden.

1. Stufe:

Triebwerk	RD-107-8D74
Schub	4 x 790 kN
Startmasse	4 x 43'100 kg
Leermasse	4 x 3'500 kg
Brennzeit	120 s
spez. Impuls	2452 m/s (Meereshöhe)
spez. Impuls	3003 m/s (Vakuum)

2. Stufe:

Triebwerk	RD-108-8D75
Schub	1 x 745 kN
Startmasse	1 x 95'300 kg
Leermasse	1 x 7'500 kg
Brennzeit	330 s
spez. Impuls	2364 m/s (Meereshöhe)
spez. Impuls	3021 m/s (Vakuum)

Haupttriebwerk

Treibstoff	Kerosin
Oxidator	Sauerstoff
Mischungsverhältnis	1 : 2.47
Turbopumpe	4000 kW
Brennkammerdruck	58.50 bar
Düsenmündungsdruck	0.39 bar

Modellannahmen

Die Bilanzgleichungen bilden die zentralen Teile des Modells

• x-Impulsbilanz bezüglich der ganzen Rakete
• y-Impulsbilanz bezüglich der ganzen Rakete
• Massenbilanz 1. Stufe
• Massenbilanz 2. Stufe

Als weitere Zustandsgrössen (Bestandesgrösse, Stock) kommen noch die x- und die y-Koordinate dazu.

Impulsströme

Die Rakete tauscht auf drei Arten Impuls mit der Umgebung aus

• konvektiv, zusammen mit dem wegströmenden Gas
• leitungsartig mit der Luft (Luftwiderstand)
• quellenartig mit dem Gravitationsfeld

Im rotierenden Bezugssystem darf die Wirkung des (im Sinne von Albert Einstein verallgemeinerten) Gravitationsfeldes in drei Teile zerlegt werden

• Gravitationskraft der Erde
• Zentrifugalkraft
• Corioliskraft

Gravitations- und Zentrifugalkraft können zu einer statischen "Scheinkraft" zusammen gefasst werden. Die Corioliskraft wirkt nur auf bewegte Körper und steht senkrecht zur Geschwindigkeit der Rakete.

Luftwiderstand

Sputnik musste mit 7900 m/s eine Geschwindigkeit erreichen, die etwa zehn mal schneller als eine Kanonenkugel ist. In weniger als einer Minute nach dem Start durchbrach die Trägerrakete die Schallmauer. Ein Widerstandsmodell, das den Unter- und Überschallbereich realitätsnah nachbildet, übersteigt die Möglichkeiten eines einführenden Kurses in die Physik der dynamischen Systeme. Folglich haben die Studierenden den Widerstand mit Hilfe einer halbempirischen Formel beschrieben. Der Fehler, der dadurch entsteht, hält sich infolge der abnehmende Dichte der Atmosphäre in Grenzen.

Der Luftwiderstand ist gleich Dichte der kinetischen Energie der anströmenden Luft mal korrigierte Querschnittfläche

[math]F_W=\frac{\varrho}{2}v^2c_W A[/math]

wobei die Dichte der Luft (ρ) mit der Höhe abnimmt und der Widerstandsbeiwert (c_W) nur geschätzt werden kann. Die Dichte ist aus den Daten der Standardatmosphäre berechnet worden.

Orientierung der Rakete

Die entscheidende Grösse in diesem Modell ist die Orientierung der Rakete bzw. die Richtung des ausströmenden Gases. Üblicherweise beschreibt man die Lage der Rakete bezüglich eines lokalen Koordinatensystems (Ausrichtung nach Horizont und Zenit) und transformiert dann auf das Erdsystem. Weil in diesem Projekt die Ausrichtung der Rakete nur durch Versuch und Irrtum gefunden werden kann, wurde die Ausrichtung der Rakete mit einem Winkel zur x-Achse parametrisiert. Die Studierenden haben diese Winkel-Zeit-Funktion so lange variiert, bis ein Orbit, welcher dem wirklichen Verlauf der Sputnikbahn möglichst nahe kommt, erreicht worden ist. In unzähligen Simulationsläufen mussten sie erleben, wie sensitiv das ganze Modell ist. Ein bisschen mehr oder weniger Treibstoff, eine leichte Veränderung in der Orientierung der Rakete oder eine andere Nutzlast können den Sputnik abstürzen oder zu hoch fliegen lassen.

Triebwerk

Der von den Gasen weggeführte Impulsstrom ist gleich spezifischer Impuls mal Volumenstrom oder gleich Geschwindigkeit der Gas bezüglich der Erde mal Massenstrom

[math]I_p=\varrho_p I_V=v_G I_m=(v-c)I_m[/math]

In der Literatur nennt man die Ausströmgeschwindigkeit c spezifischen Impuls. Dies trifft zu, solange die Rakete still steht, also zum Beispiel im Prüfstand festgehalten wird. Die Ausströmgeschwindigkeit der Gase hängt von der Druckdifferenz zwischen Brennkammer und Öffnung der Düse ab. Weil der Druck der austretenden Gase durch den Gegendruck der Atmosphäre nach unten begrenzt wird, steigt die Ausströmgeschwindigkeit mit zunehmender Höhe an. Dieser Effekt ist in den meisten Fällen mittels einer linearen Funktion der Höhe beschrieben worden.

Modell

SD-Modell

Die systemdynamische Modellierung ermöglicht einen direkten, intuitiven Zugang zur mathematischen Beschreibung. Im Zentrum des Raketenmodells stehen die beiden Impulsbilanzen (linke und rechte Seite im mittleren Teil des Modells) mit dem konvektiven Impulsströmen der austretenden Gase, dem Impulsaustausch mit dem verallgemeinerten Gravitationsfeld (Gewichtskraft, Zentrifugalkraft und Corioliskraft) und dem Impulsstrom zur umgebenden Luft (Luftwiderstand). Die Massenbilanz (oben links) beeinflusst die Impulsbilanz über die Kopplung zwischen Massenströmen und konvektiven Impulsströmen. Zudem liefert der Quotient aus Impuls und Masse die momentane Geschwindigkeit der Rakete. Diese wird dann zum Ort aufintegriert (unterhalb der Impulsbilanz).

Auf der Mittelachse des systemdynamischen Modells sind die Parameter und die konstitutiven Gesetze zu finden

• die Orientierung der Rakete relativ zur x-Achse
• die Berechnung der totalen Masse
• der Widerstandsbeiwert für den Luftwiderstand
• die Winkelgeschwindigkeit der Erde
• die Berechnung der Gravitationsfeldstärke (inkl. Zentrifugalfeld)
• die Dichte der Luft
• die Querschnittfläche der Rakete
• die Schnelligkeit

Ergebnisse

Flugbahn

Flugbahn

Nach den von Johannes Kepler gefundenen Gesetzmässigkeiten müsste Sputnik nach Brennschluss auf einer Ellipse um die Erde fallen. Weil sich die Erde dreht und das Modell relativ zum erdfesten Bezugssystem formuliert worden ist, dreht sich die grosse Achse der Ellipse rückwärts. Der erdfernste Punkt, das Apogäum, wandert von der Erde aus gesehen gegen Westen, wobei die Verschiebung für einen Umlauf von zwei Stunden etwa 30° beträgt.

Kaum ein Begriff wird so oft falsch verwendet wie die Zentrifugalkraft. Anhand der Freiflugbahn von Sputnik kann die Problematik der Trägheitskräfte oder des verallgemeinerten Gravitationsfeldes ausgiebig diskutiert werden. Betrachtet man die Flugbahn von einem fest mit der Erde verbundenen, aber nicht rotierenden Bezugssystem aus, wirkt nur das von der Masse der Erde erzeugte Gravitationsfeld auf Sputnik ein. Der Satellit fällt unter der alleinigen Wirkung der Gewichtskraft um die Erde herum.

Geht man dagegen von der rotierenden Erde als Bezugssystem aus, muss die Wirkung des Gravitationsfeldes um einen statischen und einen dynamischen Term erweiterte werden. Bezogen auf den Satelliten ergeben sich damit zwei zusätzliche Trägheitskräfte. Der statische Teil, die Zentrifugalkraft, nimmt linear mit dem Abstand von der Erdemitte zu. Der dynamische Teil, die Corioliskraft, hängt dagegen nur von der Geschwindigkeit des Satelliten relativ zur Erde ab. Fliegt ein Satellit auf einer Kreisbahn über dem Äquator nach Osten, wirkt die Corioliskraft nach unten. Bewegt sich der Satellit nach Westen, wirkt die Corioliskraft nach oben.

Die Behauptung, dass ein Satellit nicht herunter fällt, weil er von Zentrifugal- und Gewichtskraft im Gleichgewicht gehalten werde, ist wissenschaftlich verbrämter Unsinn.

Flughöhe

Flughöhe

Die Flughöhe, der Abstand des Satelliten von der Erdoberfläche, hängt von sehr vielen Einflussfaktorern wie Treibstoffmenge, Brenndauer, Luftwiderstand und Startbahn ab. Die Übereinstimmung mit den wahren Daten kann mittels Versuch und Irrtum erzwungen werden. Der Höhen-Zeit-Verlauf ist deshalb kein Qualitätskriterium. Bedenkt man, dass die wahre Bahn von Sputnik 65° gegen die Äquatorebene geneigt gewesen ist, müsste in diesem Modell bei einem Start nach Osten eine deutlich höhere Bahn resultieren.

Interessant und lehrreich ist der Zusammenhang zwischen der Flughöhe und der Umlaufzeit. Gemäss den Keplerschen Gesetzen ist die Umlaufzeit nur von der grossen Halbachse der elliptischen Bahn abhängig. Der von Kepler gefundene Zusammenhang zwischen Bahnparameter und Umlaufzeit lässt sich bei Kenntnis der Flughöhe leicht überprüfen. Transformiert man die simulierten Daten in ein nicht rotierendes Bezugssystem, trifft die Aussage von Kepler exakt zu.

Belastung

Ein Körper mit konstanter Masse kann den Impuls leitungsartig oder quellenartig mit der Umgebung austauschen. In der Newton-Euler-Mechanik werden beide Austauschformen (Impulsstrom- und Impulsquellenstärke) als Kräfte bezeichnet. Meist wird dann auch noch behauptet, dass Kräfte einen Körper verformen können, obwohl nur die Impulsströme eine unmittelbare Wirkung auf das durchflossene Material ausüben. Diese Nachlässigkeit bei der Begriffsbildung dürfte einer der Gründe sein, wieso die Mechanik von Schülern und Studierenden so schlecht verstanden wird.

Bei der Formulierung der Impulsbilanz, des Grundgesetzes der Mechanik, sollte man klar zwischen Impulsstrom (Oberflächenkraft) und Impulsquelle (Gravitationskraft) unterscheiden

[math]\vec F_{Res}+m\vec g=m\vec a[/math]

Weil die Masse die Kopplung ans Gravitationsfeld beschreibt und gleichzeitig Impulskapazität ist, sieht die Impulsbilanz in jedem Bezugssystem anders aus. Nimmt man ein Bezugssystem, in dem der zu beschreibende Körper ruht, verschwindet die Beschleunigung zu Lasten der Gravitationsfeldstärke.

lokales Gravitationsfeld

Wirken keine Oberflächenkräfte auf einen Körper ein, ist dessen Beschleunigung gleich der Gravitationsfeldstärke. Im mitbewegten System ist lokal überhaupt kein Gravitationsfeld mehr nachweisbar. Diesen Zustand, den der antriebslosen Fallbewegung, nennt man Schwerelosigkeit oder neuerdings auch Mikrogravitation.

[math]\vec F_{Res}+m\vec g_{lokal}=0[/math] mit der Transformationsvorschrift [math]\vec g_{lokal}=\vec g + \vec g_t=\vec g - \vec a_{System}[/math]

Das Diagramm zeigt den zeitlichen Verlauf des im Sputnik nachweisbaren Gravitationsfeldes. Das Messgerät, das diese Grösse ermittelt, nennt man etwas inkonsequent Beschleunigungssensor. Weil die Masse abnimmt, die Triebwerke aber immer gleich stark arbeiten, steigt die Beschleunigung und damit auch die lokal nachweisbare Gravitationsfeldstärke. Sobald die Triebwerke ausgeschaltet sind, ist die Beschleunigung eines Satelliten relativ zur Erde gleich der auf das System Erde zu beziehenden Gravitationsfeldstärke. Ein mit fliegender (mit fallender) Beobachter ist dann schwerelos.