Temperatur

Die Temperatur ist das thermische Potenzial, das den Wärmegrad eines Systems beschreibt. Zudem ordnet die absolute Temperatur jedem leitungsartigen Entropiestrom einen Energiestrom zu

[math]I_W=TI_S[/math]

Das von Sadi Carnot zur Herleitung des Carnot-Prozesses benutzte Bild eines Wärmestoffes (Calorique), der von hoher Temperatur zur tiefen fliesst, dabei bewegende Kraft (Energie) freisetzt und gleichzeitig die Temperatur der beteiligten Systeme ausgleicht (Stausee-Analogie), dürfte ziemlich alt sein. Wärme, also Entropie, setzt Energie frei, sobald sie von hoher zu tiefer Temperatur fliesst. Die zugehörige Prozessleistung lässt sich direkt aus der Formel des zugeordneten Energiestromes ableiten

[math]P=\Delta TI_S[/math]

empirische Temperarturskalen

Das Bedürfnis, die Temperatur eines Systems zu messen, bestand schon lange bevor der Zusammenhang zwischen Entropie und Energie bekannt war. Nach umfangreichen Untersuchungen zur thermischen Ausdehnung verschiedener Stoffe erwies sich das auch heute noch gebräuchliche Quecksilberthermometer als am geeignetsten. Zur Festlegung der Skala wird eine mit Quecksilber gefüllte Glaskugel, die oben in ein langes Röhrchen mündet, zuerst in ein Eis-Wasser-Gemisch und danach in unter Normaldruck siedendes Wasser getaucht. Weil sich Quecksilber stärker ausdehnt als Glas, liegt das Niveau der Quecksilbersäule beim Eis-Wasser-Gemisch tiefer als beim siedenden Wasser. Hält man das Niveau der Quecksilbersäule in beiden Zuständen mittels einer Markierung auf dem Glasröhrchen fest und unterteilt diesen Fundamentalabstand in 100 gleiche Teile, erhält man die Celsiusskala. Die Skala nach Reomur teilt diesen Fundamentalabstand in 80 Abschnitte ein. Fahrenheit hat seinen Fundamentalabstand zwischen der Temperatur einer Kältemischung und der Temperatur des menschlichen Körpers gewählt und in 100 Abschnitte eingeteilt.

Die Celsius-Skala ist eine empirische Skala, weil ein zufällig ausgewähltes Phänomen, die relative Volumenausdehnung von Quecksilber in Glas, als Referenz genommen wird. Doch wer garantiert, dass diese relative Volumenausdehnung proportional zur wahren Temperaturerhöhung ist? Füllt man die Glaskugel mit Toluaol statt mit Quecksilber und führt das gleiche Verfahren (Fundamentalabstand bestimmen, in hundert gleiche Abschnitte unterteilen) durch, zeigen das Quecksilber- und das Toluolthermometer nicht bei der gleichen Temperatur 50°C an. Welchem System soll man nun glauben?

Gastemperatur

Erwärmt man eine bestimmte Menge Gas von Null auf hundert Grad Celsius, steigt der Druck pro Grad um ziemlich genau 1/273 des ursprünglichen Wertes an. Ein analoges Phänomen ist zu beobachten, wenn man das Gas unter konstant gehaltenem Druck aufheizt. Dann vergrössert sich das Volumen pro Grad um 1/273 des bei 0°C gemessenen Wertes. Diese Beobachtung wird durch die Gasgleichung beschrieben, welche das Volumen eines als ideal angenommenen Gases V mit dessen Absolutdruck p und dessen absoluter Temperatur T verknüpft

[math]\frac{pV}{T}=\frac{p_0V_0}{T_0}[/math]

Die absolute Temperatur wird meist in der Skala von Kelvin gemessen. Diese Skala ergibt sich aus der von Celsius, indem man diese um 273.15 Grad anhebt (Wert in Kelvin gleich Wert in Celsius plus 273.15).

absolute Temperatur

Solange man die Kelvin- aus der Celsiusskala durch die Addition einer Konstanten (273.15) ableitet, ist erstere ebenfalls als eine empirische Skala zu sehen. Dies, obwohl das einheitliche Verhalten der verschiedenen Gase auf eine stoffunabhängige Gesetzmässigkeit hinweisen. Eine allgemein gültige Skala erhält man erst, wenn man die Skalierung vom konkreten Messprozess löst und - wie eingangs schon erwähnt - als Verknüpfung zwischen Entropie- und Energiestrom definiert. Die so festgelegte absolute Temperatur wird weiterhin in Kelvin angegeben.

Der Entropiestrom wird in Watt pro Kelvin und die Entropie in Joule pro Kelvin gemessen werden, weil Kelvin im internationalen Einheitensystem (SI) als Basiseinheit definiert ist. Um den Umgang mit der Grösse Entropie zu erleichtern, sollte die Einheit der Entropie unbedingt einen eigenen Namen bekommen.

statistische Deutung

Geht man von der statistischen Mechanik aus, ist die Temperatur ein Mass für die durchschnittliche Bewegungsenergie der Teilchen eines idealen Gases. Die Temperatur nimmt proportional mit dem arithmetischen Mittel der Bewegungsenergie der einzelnen Teilchen zu

[math] \langle W_{Bew}\rangle =\frac{f}{2} k T[/math]

wobei k die Boltzmann-Konstante ist und f die Zahl der Freiheitsgrade angibt. Ein einatomiges Gas besitzt drei und ein zweiatomiges fünf Freiheitsgrade. Mit steigender Temperatur nimmt die Zahl der Freiheitsgrade mehratomiger Teilchen zu. Dieses Verhalten lässt sich aber nur mit Hilfe der Quantenmechanik erklären.

Die statistische Deutung der Temperatur kann aus einer tiefer gründenden Gesetzmässigkeit, der Botzmann-Statistik, abgeleitet werden. Die Boltzmann-Statistik (auch: Gibbs-Boltzmann-Verteilung) gibt die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes eines Systems an, welches im thermodynamischen Gleichgewicht mit einem Wärmebad der Temperatur T steht. Die Wahrscheinlichkeit p_j, dass man den Zustand j misst, ist gleich

[math]p_j=\frac 1Z e^{-\left(\frac{W}{kT}\right)}[/math]

wobei die Normierung Z auch Zustandssumme genannt wird.