Materiewelle

Materiewellen wurden 1924 von Louis-Victor de Broglie postuliert. Die Entdeckung der Lichtquanten durch Albert Einstein bei der Untersuchung des Photoeffekts warf die Frage auf, ob Licht als Welle oder als Teilchenstrom beschrieben werden soll. Dabei entstand der Begriff des Welle-Teilchen-Dualismus. Louis de Broglie hat den Teilchen- und Wellencharakter der Photonen auf die klassischen Teilchen übertragen und dafüt 1929 den Nobelpreis für Physik erhalten.

Heutzutage ist der Begriff des Welle-Teilchen-Dualismus' veraltet. In der Quantenmechanik geht man davon aus, dass ein Teilchen keinen fest definierbaren Ort hat. Die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation, welche das Quadrat der normierten Materiewelle als Dichteverteilung einer Aufenthaltswahrscheindlichkeit interpretiert, ist deshalb so nicht haltbar.

1927 gelang Clinton Davisson und Lester Germer der Nachweis der Welleneigenschaften von Elektronen durch Interferenzversuche an einem Nickel-Einkristall. Noch eindrucksvoller ist der Doppelspaltversuch mit Elektronen, den Claus Jönsson 1960 an der Universität Tübingen realisierte.

Die De-Broglie-Wellenlänge

Gemäss Louis de Broglie soll jedem Teilchen eine Welle zugeordnet werden, die durch die Wellenlänge λ oder die Wellenzahl k charakterisiert werden kann. Bei diesem Gedankengang hat er sich an der Erklärung des Photoeffekts orientiert. 1905 konnte Albert Einstein am Beispiel des Photoeffekts zeigen, dass eine elektromagnetische Welle der Frequenz f aus Photonen besteht, die alle die selbe Energie W besitzen

[math]W=hf=\frac{h}{T}[/math] oder [math]T=\frac{W}{h}[/math] bzw. [math]f=\frac{W}{h}[/math]

wobei h das Planck'sche Wirkungsquantum ist. Weil bei der eletromagnetischen Strahlung die Energie gleich Impuls mal Lichtgeschwindigkeit ist und die Lichtgeschwindigkeit als Frequenz mal Wellenlänge bzw. als Frequens durch Wellenzahl (Reziprokwert der Wellenlänge) geschrieben werden kann, gilt

[math]p=\frac{W}{c}=\frac{W}{f\lambda}=\frac{kW}{f}=hk=\frac{h}{\lambda}[/math] oder als Vektor [math]\vec{p}=h\vec{k}[/math]

[math]\vec{k}[/math] heisst Wellenvektor. Louis de Broglie hat diese Beziehung auf beliebige Teilchen ausgedehnt

[math]\lambda=\frac{h}{p}[/math] oder [math]\vec k=\frac{\vec p}{h}[/math]

Wellenpakete

Zur Berechnung der Frequenz f eines Teilchens ist dessen Gesamtenergie zu nehmen

[math]f=\frac{W}{h}=\frac{mc^2}{h}[/math]

Damit ist die Phasengeschwindigkeit eines Teilchens mit Ruhemasse immer grösser als die Lichtgeschwindigkeit

[math]v_{Ph}=\frac{f}{k}=\lambda f=\frac{W}{p}=\frac{mc^2}{p}=\frac{c^2}{v}[/math]

In der letzten Umformung sind der Impuls und die Masse durch die Geschwindigkeit eines Massenpunktes ersetzt worden. Dieser Phasengeschwindigkeit kann keine unmittelbare Bedeutung zugeschrieben werden.

Teilchen werden nicht durch eine harmonische Welle mit fester Frequenz sondern durch Wellenpakete beschrieben. Im Gegensatz zu den Wellenpaketen der Photonen, dessen Form sich während des Flugs nicht ändert (im "Ruhesystemn" des Photons bleibt die Zeit stehen), zerfliessen die Wellenpakete der Teilchen mit Ruhemasse. Definiert man statt der Phasengeschwindigkeit eine Geschwindigkeit, die gleich der Ableitung der Frequenz nach der Wellenzahl ist, folgt

[math]\frac{df}{dk}=\frac{dW}{dp}=\frac{\dot W}{\dot p}=\frac{I_W}{I_p}=v[/math]

Die klassische Geschwindigkeit eines Teilchens zeigt sich beim Wellenpaket nur noch als so genannte Dispersionsrelation. Je kürzer das Wellenpaket ist, desto mehr Geschwindigkeiten können dem Teilchen zugeschrieben werden, desto verschmierter ist der Impuls des Teilchens.

Quellen

• Broglie, Louis de, The wave nature of the electron, Nobel Lecture, December 12, 1929