Lösung zu Wanne mit Abfluss: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 18. Februar 2010, 13:41 Uhr

Wir benennen die 4 relevanten Höhen mit h₁ = 4 m (Wasseroberfläche), h₂ = 3 m (Wannenboden), h₃ = 2 m (im Rohr 2 m oberhalb des Ausflusses) und h₄ = 0 m (Ausfluss). Das Gesetz von Bernoulli erlaubt es uns, längs einer reibungsfreien, instationären Strömung eines inkompessiblen Fluids die Summe aus drei Termen (Energiebeladungsmass des Volumenstromes) gleich zu setzen. Folglich kann man für die drei Höhen Wasseroberfläche (1), zwei Meter über dem Ausfluss (3) und den Ausfluss (4) den Bernoulli-Term formulieren, die drei Terme wahlweise gleichsetzen und nach der gesuchten Grösse auflösen.

Wasseroberfläche: [math]p_1 + \frac {\rho}{2}v_1^2 + \rho g h_1 = p_L + \rho g h_1, \quad v_1 = 0 [/math]

im Rohr: [math]p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3 [/math]

Ausfluss: [math]p_4 + \frac {\rho}{2}v_4^2 + \rho g h_4 = p_L + \frac {\rho}{2}v_4^2 [/math]

1. Setzt man die Terme der Höhen h₁ und h₄ gleich, gewinnt man das Ausflussgesetz von Torricelli

[math]v_4 = \sqrt{2 g h_1} = \sqrt{2 \cdot 9.81 m/s^2 \cdot 4 m} [/math] = 8.86 m/s

und unter Beizug der Kontinuitätsgleichung die Stärke des Volumenstromes

[math]I_V = A_4 v_4 = \pi / 4 \cdot (0.03 m)^2 \cdot 8.86 m/s [/math] = 6.26 l/s

2. Der Druck auf der Höhe h₃ folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme für h₃ und h₄ sowie unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung für das Volumen.

[math]p_3 = p_4 + \frac {\rho}{2}v_4^2 + \rho g h_4 - \frac {\rho}{2} v_3^2 - \rho g h_3 = p_L + \frac {\rho}{2}v_4^2 \left(1 - \frac{A_4^2}{A_3^2}\right) - \rho g h_3 = p_L + \rho g \left[ h_1 \left( 1 - \frac{A_4^2}{A_3^2} \right) - h_3 \right] [/math]

[math] p_3 = 92'000 Pa + 1000 kg/m^3 \cdot 9.81 m/s^2 \left[ 4 m \left( 1 - \frac{(0.03 m)^4}{(0.05 m)^4} \right) - 2 m \right][/math] = 1.065 bar

In der letzten Umformung ist das Resultat von Punkt 1 verwendet worden. Im zylindrischen Teil des Rohres nimmt der Druck nach oben wie in einem ruhenden Gefäss ab, weil die Geschwindigkeit wegen des konstanten Durchmessers gleich bleibt.

Aufgabe

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-Das [[Gesetz von Bernoulli]] erlaubt es uns, längs einer reibungsfreien, instationären Strömung eines inkompessiblen [[Fluid]]s die Summe aus drei Termen (Energiebeladungsmass des Volumenstromes) gleich zu setzen. Folglich kann man für die drei Punkte Wasseroberfläche (1), Ausfluss (2) und zwei Meter über dem Ausfluss (3) den Bernoulli-Term formulieren, die drei Terme wahlweise gleichsetzen und nach der gesuchten Grösse auflösen. Für die drei Punkte gilt (''h'' = 4 m, ''h<sub>3</sub>'' = 2 m)
+Wir benennen die 4 relevanten Höhen mit h<sub>1</sub> = 4 m (Wasseroberfläche), h<sub>2</sub> = 3 m (Wannenboden), h<sub>3</sub> = 2 m (im Rohr 2 m oberhalb des Ausflusses) und h<sub>4</sub> = 0 m (Ausfluss). Das [[Gesetz von Bernoulli]] erlaubt es uns, längs einer reibungsfreien, instationären Strömung eines inkompessiblen [[Fluid]]s die Summe aus drei Termen (Energiebeladungsmass des Volumenstromes) gleich zu setzen. Folglich kann man für die drei Höhen Wasseroberfläche (1), zwei Meter über dem Ausfluss (3) und den Ausfluss (4) den Bernoulli-Term formulieren, die drei Terme wahlweise gleichsetzen und nach der gesuchten Grösse auflösen.
-:Wasseroberfläche: <math>p_1 + \frac {\rho}{2}v_1^2 + \rho g h_1 = p_L + \rho g h</math>
+:Wasseroberfläche: <math>p_1 + \frac {\rho}{2}v_1^2 + \rho g h_1 = p_L + \rho g h_1, \quad v_1 = 0 </math>
-:Ausfluss: <math>p_2 + \frac {\rho}{2}v_2^2 + \rho g h_2 = p_L + \frac {\rho}{2}v^2 </math>
+:im Rohr: <math>p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3 </math>
-:im Rohr: <math>p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3 = p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2  + \rho g h_3</math>
+:Ausfluss: <math>p_4 + \frac {\rho}{2}v_4^2 + \rho g h_4 = p_L + \frac {\rho}{2}v_4^2 </math>
-. Setzt man die Terme in den Punkten 1 und 2 gleich, gewinnt man das [[Ausflussgesetz von Torricelli]]und unter Beizug der [[Kontinuitätsgleichung]] die Stärke des Volumenstromes
+. Setzt man die Terme der Höhen h<sub>1</sub> und h<sub>4</sub> gleich, gewinnt man das [[Ausflussgesetz von Torricelli]]
-:<math>I_V = Av = A \sqrt{2 g h}</math> = 6.26 l/s
+:<math>v_4 = \sqrt{2 g h_1} = \sqrt{2 \cdot 9.81 m/s^2 \cdot 4 m} </math> = 8.86 m/s
-. Der Druck im Punkt 3 folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme von 2 und 3 sowie unter Verwendung der [[Kontinuitätsgleichung]] für das Volumen.
+und unter Beizug der [[Kontinuitätsgleichung]] die Stärke des Volumenstromes
+:<math>I_V = A_4 v_4 = \pi / 4 \cdot (0.03 m)^2 \cdot 8.86 m/s </math> = 6.26 l/s
-:<math>p_3 = p_L + \frac {\rho}{2}v^2 - \frac {\rho}{2}v_3^2 - \rho g h_3 = p_L + \frac {\rho}{2}v^2 \left(1 - \frac{A_2^2}{A_3^2}\right) - \rho g h_3 = p_L + \rho g \left[ h \left( 1 - \frac{A_2^2}{A_3^2} \right) - h_3 \right]</math> = 1.065 bar
+. Der Druck auf der Höhe h<sub>3</sub> folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme für h<sub>3</sub> und h<sub>4</sub> sowie unter Verwendung der [[Kontinuitätsgleichung]] für das Volumen.
-In der letzten Umformung ist nochmals der Bernoulli-Term von Punkt 1 verwendet worden. Im zylindrischen Teil des Rohres nimmt der Druck nach oben wie in einem ruhenden Gefäss ab.
+:<math>p_3 = p_4 + \frac {\rho}{2}v_4^2 + \rho g h_4 - \frac {\rho}{2} v_3^2 - \rho g h_3 = p_L + \frac {\rho}{2}v_4^2 \left(1 - \frac{A_4^2}{A_3^2}\right) - \rho g h_3 = p_L + \rho g \left[ h_1 \left( 1 - \frac{A_4^2}{A_3^2} \right) - h_3 \right] </math>
+:<math> p_3 = 92'000 Pa + 1000 kg/m^3 \cdot 9.81 m/s^2 \left[ 4 m \left( 1 - \frac{(0.03 m)^4}{(0.05 m)^4} \right) - 2 m \right]</math> = 1.065 bar
+In der letzten Umformung ist das Resultat von Punkt 1 verwendet worden. Im zylindrischen Teil des Rohres nimmt der Druck nach oben wie in einem ruhenden Gefäss ab, weil die Geschwindigkeit wegen des konstanten Durchmessers gleich bleibt.
 '''[[Wanne mit Abfluss|Aufgabe]]'''