Lösung zu Wanne mit Abfluss
Wir benennen die 4 relevanten Höhen mit h1 = 4 m (Wasseroberfläche), h2 = 3 m (Wannenboden), h3 = 2 m (im Rohr 2 m oberhalb des Ausflusses) und h4 = 0 m (Ausfluss). Das Gesetz von Bernoulli erlaubt es uns, längs einer reibungsfreien, instationären Strömung eines inkompessiblen Fluids die Summe aus drei Termen (Energiebeladungsmass des Volumenstromes) gleich zu setzen. Folglich kann man für die drei Höhen Wasseroberfläche (1), zwei Meter über dem Ausfluss (3) und den Ausfluss (4) den Bernoulli-Term formulieren, die drei Terme wahlweise gleichsetzen und nach der gesuchten Grösse auflösen.
- Wasseroberfläche: [math]p_1 + \frac {\rho}{2}v_1^2 + \rho g h_1 = p_L + \rho g h_1, \quad v_1 = 0 [/math]
- im Rohr: [math]p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3 [/math]
- Ausfluss: [math]p_4 + \frac {\rho}{2}v_4^2 + \rho g h_4 = p_L + \frac {\rho}{2}v_4^2 [/math]
1. Setzt man die Terme der Höhen h1 und h4 gleich, gewinnt man das Ausflussgesetz von Torricelli
- [math]v_4 = \sqrt{2 g h_1} = \sqrt{2 \cdot 9.81 m/s^2 \cdot 4 m} [/math] = 8.86 m/s
und unter Beizug der Kontinuitätsgleichung die Stärke des Volumenstromes
- [math]I_V = A_4 v_4 = \pi / 4 \cdot (0.03 m)^2 \cdot 8.86 m/s [/math] = 6.26 l/s
2. Der Druck auf der Höhe h3 folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme für h3 und h4 sowie unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung für das Volumen.
- [math]p_3 = p_4 + \frac {\rho}{2}v_4^2 + \rho g h_4 - \frac {\rho}{2} v_3^2 - \rho g h_3 = p_L + \frac {\rho}{2}v_4^2 \left(1 - \frac{A_4^2}{A_3^2}\right) - \rho g h_3 = p_L + \rho g \left[ h_1 \left( 1 - \frac{A_4^2}{A_3^2} \right) - h_3 \right] [/math]
- [math] p_3 = 92'000 Pa + 1000 kg/m^3 \cdot 9.81 m/s^2 \left[ 4 m \left( 1 - \frac{(0.03 m)^4}{(0.05 m)^4} \right) - 2 m \right][/math] = 1.065 bar
In der letzten Umformung ist das Resultat von Punkt 1 verwendet worden. Im zylindrischen Teil des Rohres nimmt der Druck nach oben wie in einem ruhenden Gefäss ab, weil die Geschwindigkeit wegen des konstanten Durchmessers gleich bleibt.