Lösung zu Badewanne: Unterschied zwischen den Versionen

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#Die zuzuführende Energie ist gleich der Änderung der [[Enthalpie]] des Wassers <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz.
#Die zuzuführende Wärmeenergie ist gleich der Änderung der [[Enthalpie]] des Wassers <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * 25 K = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz.
#Die von der [[Wärmepumpe]] bei 50°C abegebene Entropie ist gleich <math>S = \frac {\Delta H}{T_2}</math> = 58.4 kJ/K. Um diese Entropie um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe Energie im Umfang von <math>W = \Delta T S</math> = 2.9 MJ oder 0.81 kWh.
#Weil W<sub>3</sub> = W<sub>4</sub> = &Delta;H ist, ist die von der [[Wärmepumpe]] bei 50°C abgegebene Entropie S<sub>3</sub> gleich <math>S_3 = \frac {W_3}{T_2} = \frac {\Delta H}{T_2}</math> = 18.86 MJ / 323 K = 58.4 kJ/K. Um die Entropie S<sub>1</sub> = S<sub>2</sub> = S<sub>3</sub> um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe die Energie W<sub>WP</sub> im Umfang von <math>W_{WP} = (T_2 - T_1) \cdot S_1</math> = 50 K * 58.4 kJ/K = 2.92 MJ oder 0.81 kWh. [[Bild:Badewanne2.png]]
#Die [[Entropie]] des Wassers nimmt um <math>S = m c \ln{\frac{T_e}{T_a}}</math> = 62.8 kJ/K zu. Diese Entropie trägt eine Wärmeenergie von <math>Q = T_U S</math> 17.8 kJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zur Enthalpieänderung, also ''W'' = ''&Delta; H - Q'' = 1.09 MJ (0.3 kWh) aufbringen.
#Die [[Entropie]] des Badewassers nimmt um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_{2e}}{T_{2a}}}</math> = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * ln(313 K / 288 K) = 62.8 kJ/K zu. Die ausgetauschte Entropiemenge S<sub>2</sub>, welche diese Entropiezunahme &Delta;S bewirkte, ist gleich S<sub>1</sub>. Diese trägt eine Wärmeenergie von <math>W_1 = T_1 S_1</math> = 17.77 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zu W<sub>2</sub> aufbringen. Deshalb wird W<sub>WP</sub> = W<sub>2</sub> - W<sub>1</sub> = &Delta;H - W<sub>1</sub> = 18.86 MJ - 17.77 MJ = 1.09 MJ (0.3 kWh). [[Bild:Badewanne3.png]]
#Die Enthalpie des Wassers ändert sich um <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = -15.1 MJ und die Entropie um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_e}{T_a}}</math> = -51.5 kJ/K. Diese Entropie nimmt <math>Q = T_U S</math> = 14.6 MJ Energie in Form von Wärme an die Umwelt mit. Die Differenz zwischen der Abnahme der Enthalpie und der Abwärme ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 51 kJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm).
#Die Enthalpie des Badewassers ändert sich um <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * (- 20 K) = -15.1 MJ und die Entropie um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_{1e}}{T_{1a}}}</math> = 180 kg * 4.19kJ/kg/K * ln(283 K / 303 K) = - 51.5 kJ/K. Die ausgetauschte Entropie S<sub>1</sub> ist gleich dieser Entropieänderung. Weil reversibel, ist S1 = S2. S2 trägt <math>W2 = T_2 \cdot S_2 = T_2 \cdot (- \Delta S</math>) = 283 K * 51.5 kJ/K = 14.6 MJ als thermische Energie in das Grundwasser. Die Differenz W<sub>KM</sub> = W<sub>1</sub> - W<sub>2</sub> = - &Delta;H - W<sub>2</sub> = 15.1 MJ - 14.6 MJ = 0.5 MJ ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 0.5 MJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm). [[Bild:Badewanne4.png]]


'''[[Badewanne|Aufgabe]]'''
'''[[Badewanne|Aufgabe]]'''

Aktuelle Version vom 29. März 2011, 12:51 Uhr

  1. Die zuzuführende Wärmeenergie ist gleich der Änderung der Enthalpie des Wassers [math]\Delta H = m c \Delta T[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * 25 K = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz.
  2. Weil W3 = W4 = ΔH ist, ist die von der Wärmepumpe bei 50°C abgegebene Entropie S3 gleich [math]S_3 = \frac {W_3}{T_2} = \frac {\Delta H}{T_2}[/math] = 18.86 MJ / 323 K = 58.4 kJ/K. Um die Entropie S1 = S2 = S3 um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe die Energie WWP im Umfang von [math]W_{WP} = (T_2 - T_1) \cdot S_1[/math] = 50 K * 58.4 kJ/K = 2.92 MJ oder 0.81 kWh.
  3. Die Entropie des Badewassers nimmt um [math]\Delta S = m c \ln{\frac{T_{2e}}{T_{2a}}}[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * ln(313 K / 288 K) = 62.8 kJ/K zu. Die ausgetauschte Entropiemenge S2, welche diese Entropiezunahme ΔS bewirkte, ist gleich S1. Diese trägt eine Wärmeenergie von [math]W_1 = T_1 S_1[/math] = 17.77 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zu W2 aufbringen. Deshalb wird WWP = W2 - W1 = ΔH - W1 = 18.86 MJ - 17.77 MJ = 1.09 MJ (0.3 kWh).
  4. Die Enthalpie des Badewassers ändert sich um [math]\Delta H = m c \Delta T[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * (- 20 K) = -15.1 MJ und die Entropie um [math]\Delta S = m c \ln{\frac{T_{1e}}{T_{1a}}}[/math] = 180 kg * 4.19kJ/kg/K * ln(283 K / 303 K) = - 51.5 kJ/K. Die ausgetauschte Entropie S1 ist gleich dieser Entropieänderung. Weil reversibel, ist S1 = S2. S2 trägt [math]W2 = T_2 \cdot S_2 = T_2 \cdot (- \Delta S[/math]) = 283 K * 51.5 kJ/K = 14.6 MJ als thermische Energie in das Grundwasser. Die Differenz WKM = W1 - W2 = - ΔH - W2 = 15.1 MJ - 14.6 MJ = 0.5 MJ ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 0.5 MJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm).

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