Lösung zu Leistungsziffer einer Wärmepumpe: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 31. März 2010, 10:14 Uhr

Jedem Entropiestrom kann bezüglich einer Referenzfläche ein Energiestrom zugeordnet werden. Der Energiestrom ist gleich absolute Temperatur bei der Referenzfläche mal Stärke des hindurch fliessenden Entropiestromes.

[math] I_W = T I_S [/math]

Die Wärmepumpe fördert Entropie aus der 273 K warmen Umgebung in das 308 K warme Wasser der Heizung.
1. Die notwendige Leistung P_el = P_rev + P_Hilf ist gleich Heizleistung (thermisch zugeordneter Energiestrom am Ausgang I_W2) dividiert durch die Leistungszahl COP, was einen Wert von 12 kW / 4.5 = 2.67 kW ergibt.
2. Der thermische Energiestrom beim Eingang der Wärmepumpe I_W1 hat eine Stärke von I_W2 - P_el = 9.33 kW (die Summe über alle Energieströme bezüglich des Systems Wärmepumpe muss im stationären Betrieb gleich Null sein). Dividiert man die beiden thermischen Energieströme durch die zugehörigen (absoluten) Temperaturen, erhält man einen Entropiestrom der Stärke I_S1 = I_W1 / T₁ = 34.2 W/K am Eingang und einen Strom der Stärke I_S2 = 39 W/K am Ausgang. Die Produktionsrate beträgt somit I_S2 - I_S1 = 4.8 W/K.
3. Die minimale Pumpleistung bei gleicher Heizleistung stellt sich dann ein, wenn das System selber keine Entropie produziert. Für diesen idealen Prozess gilt [math]P_{rev} = \Delta T I_{S2} = \Delta T \frac {I_{W2}}{T_2}[/math] = 35 K * 12 kW / 308 K = 1.36 kW.
Ideale (reversible) Prozesse werden aus historischen Gründen oft mit der Bezeichnung Carnot versehen. Mit Carnot-Leistungszahl ist eigentlich die Leistungszahl eines Carnot-Prozesses gemeint. Wer aber weiss, was Entropie ist und wie diese mit der Energie zusammenhängt, benötigt den ganzen historischen Ballast der klassischen Thermostatik nicht mehr.
1. Weil bei einem Carnot-Prozess keine Entropie erzeugt wird (I_S1 = I_S2), gilt für die Carnot-Leistungszahl [math]\epsilon_C = \frac {I_{W2} } {P_{rev}} = \frac {T_2 I_{S2}}{\Delta T I_{S2}} = \frac {T_2}{\Delta T} = \frac {T_2}{T_2 - T_1}[/math].
2. Die Temperatur am Eingang kann mit Hilfe von ε_C berechnet werden. Man löst obige Gleichung für ε_C nach T₁ auf und erhält: [math]T_1 = T_2 \frac {\epsilon_C - 1}{\epsilon_C}[/math]. Ermittelt man mit dieser Formel aus der Graphik ein paar Zahlen, erhält man Werte in der Umgebung von 273 K (0°C).
3. Der Wirkungsgrad, der diesen Namen auch verdient, ist gleich dem Quotienten aus realer und idealer Leistungsziffer [math]\eta = \frac {\epsilon}{\epsilon_C} = \frac {\frac {I_{W2}} {P_{el}}} {\frac {I_{W2}} {P_{rev}}} = \frac {P_{rev}}{P_{el}} = \frac {\Delta T I_{S2}}{P_{el}}[/math] [math] = \frac {\Delta T I_{W2} / T_2}{P_{el}} = \frac {\Delta T} {T_2} \cdot \frac {I_{W2}}{P_{el}}[/math]
4. Mit steigender Temperatur sinkt der Wirkungsgrad (nicht nur die Leistungszahl) der Wärmepumpe ab. Der aus den graphisch gegebenen Werten zu ermittelnde Wirkungsgrad η sinkt von 7.1 / 10.8 = 66% (bei 26°C) auf 3.0 / 5.8 = 52% (bei 57°C) ab.

Aufgabe

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+[[Bild:Leistungsziffer_einer_Waermepumpe.png]]
 Jedem [[Entropiestrom]] kann bezüglich einer Referenzfläche ein [[zugeordneter Energiestrom|Energiestrom zugeordnet]] werden. Der Energiestrom ist gleich absolute Temperatur bei der Referenzfläche mal Stärke des hindurch fliessenden Entropiestromes.
-:<math>I_W = T I_S</math>
+:<math> I_W = T I_S </math>
 #Die Wärmepumpe fördert [[Entropie]] aus der 273 K warmen Umgebung in das 308 K warme Wasser der Heizung.
-##Die notwendige Leistung ist gleich Heizleistung (thermisch zugeordneter Energiestrom am Ausgang) dividiert durch die Leistungszahl, was einen Wert von 2.67 kW ergibt.
+##Die notwendige Leistung P<sub>el</sub> = P<sub>rev</sub> + P<sub>Hilf</sub> ist gleich Heizleistung (thermisch zugeordneter Energiestrom am Ausgang I<sub>W2</sub>) dividiert durch die Leistungszahl COP, was einen Wert von 12 kW / 4.5 = 2.67 kW ergibt.
-##Der thermische Energiestrom beim Eingang der Wärmepumpe hat eine Stärke von 9.33 kW (die Summe über alle Energieströme bezüglich des Systems Wärmepumpe muss im stationären Betrieb gleich Null sein). Dividiert man die beiden thermischen Energieströme durch die zugehörigen (absoluten) Temperaturen, erhält man einen Entropiestrom der Stärke 34.2 W/K am Eingang und einen Strom der Stärke 39 W/K am Ausgang. Die Produktionsrate beträgt somit 4.8 W/K.
+##Der thermische Energiestrom beim Eingang der Wärmepumpe I<sub>W1</sub> hat eine Stärke von I<sub>W2</sub> - P<sub>el</sub> = 9.33 kW (die Summe über alle Energieströme bezüglich des Systems Wärmepumpe muss im stationären Betrieb gleich Null sein). Dividiert man die beiden thermischen Energieströme durch die zugehörigen (absoluten) Temperaturen, erhält man einen Entropiestrom der Stärke I<sub>S1</sub> = I<sub>W1</sub> / T<sub>1</sub> = 34.2 W/K am Eingang und einen Strom der Stärke I<sub>S2</sub> = 39 W/K am Ausgang. Die Produktionsrate beträgt somit I<sub>S2</sub> - I<sub>S1</sub> = 4.8 W/K.
-##Die minimale Pumpleistung bei gleicher Heizleistung stellt sich dann ein, wenn das System selber keine Entropie produziert. Für diesen idealen Prozess gilt <math>P = \Delta T I_S = \Delta T \frac {I_{W2}}{T_2}</math> = 1.36 kW.
+##Die minimale Pumpleistung bei gleicher Heizleistung stellt sich dann ein, wenn das System selber keine Entropie produziert. Für diesen idealen Prozess gilt <math>P_{rev} = \Delta T I_{S2} = \Delta T \frac {I_{W2}}{T_2}</math> = 35 K * 12 kW / 308 K = 1.36 kW.
 #Ideale ([[reversibel|reversible]]) Prozesse werden aus historischen Gründen oft mit der Bezeichnung Carnot versehen. Mit Carnot-Leistungszahl ist eigentlich die Leistungszahl eines [[Carnot-Prozess]]es gemeint. Wer aber weiss, was [[Entropie]] ist und wie diese mit der [[Energie]] zusammenhängt, benötigt den ganzen historischen [[Altlast|Ballast]] der klassischen Thermostatik nicht mehr.
-##Weil bei einem [[Carnot-Prozess]] keine Entropie erzeugt wird, gilt <math>\eta_C = \frac {T_2 I_S}{\Delta T I_S} = \frac {T_2}{\Delta T}</math>.
+##Weil bei einem [[Carnot-Prozess]] keine Entropie erzeugt wird (I<sub>S1</sub> = I<sub>S2</sub>), gilt für die Carnot-Leistungszahl <math>\epsilon_C = \frac {I_{W2} } {P_{rev}} = \frac {T_2 I_{S2}}{\Delta T I_{S2}} = \frac {T_2}{\Delta T} = \frac {T_2}{T_2 - T_1}</math>.
-##Die Temperatur am Eingang kann mit Hilfe der Carnot-Leistungszahl (''Epsilon WC'') berechnet werden <math>T_1 = T_2 \frac {\epsilon - 1}{\epsilon}</math>. Ermittelt man mit dieser Formel aus der Graphik ein paar Zahlen, erhält man Werte in der Umgebung von 273 K (0°C).
+##Die Temperatur am Eingang kann mit Hilfe von &epsilon;<sub>C</sub> berechnet werden. Man löst obige Gleichung für &epsilon;<sub>C</sub> nach T<sub>1</sub> auf und erhält: <math>T_1 = T_2 \frac {\epsilon_C - 1}{\epsilon_C}</math>. Ermittelt man mit dieser Formel aus der Graphik ein paar Zahlen, erhält man Werte in der Umgebung von 273 K (0°C).
-##Der Wirkungsgrad, der diesen Namen auch verdient, ist gleich dem Quotienten aus realer und idealer Leistungsziffer <math>\eta = \frac {\epsilon}{\epsilon_C} = \frac {I_{W2 \Delta T}}{P T_2} = \frac {\Delta T I_{S2}}{P}</math>
+##Der Wirkungsgrad, der diesen Namen auch verdient, ist gleich dem Quotienten aus realer und idealer Leistungsziffer <math>\eta = \frac {\epsilon}{\epsilon_C} = \frac {\frac {I_{W2}} {P_{el}}} {\frac {I_{W2}} {P_{rev}}} = \frac {P_{rev}}{P_{el}} = \frac {\Delta T I_{S2}}{P_{el}}</math> <math> = \frac {\Delta T I_{W2} / T_2}{P_{el}} = \frac {\Delta T} {T_2} \cdot \frac {I_{W2}}{P_{el}}</math>
-##Mit steigender Temperatur sinkt der Wirkungsgrad (nicht nur die Leistungszahl) der Wärmepumpe ab. Der aus den graphisch gegebenen Werten zu ermittelnde Wirkungsgrad sinkt von 66% (bei 26°C) auf 52% (bei 57°C) ab.
+##Mit steigender Temperatur sinkt der Wirkungsgrad (nicht nur die Leistungszahl) der Wärmepumpe ab. Der aus den graphisch gegebenen Werten zu ermittelnde Wirkungsgrad &eta; sinkt von 7.1 / 10.8 =  66% (bei 26°C) auf 3.0 / 5.8 =  52% (bei 57°C) ab.
 '''[[Leistungsziffer einer Wärmepumpe|Aufgabe]]'''