Lösung zu Langes Rohr

In einem ersten Schritt muss untersucht werden, ob die Strömung laminar oder turbulent ist. Dazu berechnen wir den kritischen Volumenstrom:

[math]I_{V_{krit}}=\frac{R_V}{k}=\frac{\frac {128 \eta l}{\pi d^4}}{\lambda \frac {8 \varrho l}{\pi^2d^5}}=\frac{16\pi\eta d} {\lambda\varrho} = \frac{16\pi * 0.07 Pas * 0.026 m} {0.02 * 850 kg/m^3} = [/math] 5.38 l/s = 323 l/min

Dieser Wert, der mit λ = 0.02 gerechnet worden ist, liegt deutlich höher als die gegebene Volumenstromstärke von 75 l/min = 1.25 l/s. Folglich ist der Volumenstrom laminar und der Widerstand beträgt

[math]R_V=\frac{128 \eta l}{\pi d^4} = \frac{128 * 0.07 Pas * 15 m}{\pi (0.026 m)^4}[/math] = 9.36 10⁷ Pas/m³

1. Im Rohr laufen drei Prozesse ab: ein hydraulischer Prozess treibt einen gravitativen und einen dissipativen (thermischen) Prozess an. Die hydraulische Prozesslleistung wird aus Volumenstrom und totaler Druckdifferenz zwischen Anfang und Ende des Rohrs berechnet. Die beiden anderen Prozessleistungen siehe unter 2.

• Gravitative Druckdifferenz im Gravitationsprozess: Δp_G = ρ g Δ h = 850 kg/m³ * 9.81 N/kg * 3.5 m = 0.292 bar

• Resistive Druckdifferenz im dissipativen Prozess: Δp_R = R_V1 I_V = 9.36 10⁷ Pas/m³ * 1.25 l/s = 1.17 bar

• Totale Druckdifferenz im hydraulischen Prozess: Δp_hyd = Δ p_G + Δ p _R = 0.292 bar + 1.17 bar = 1.46 bar

2. Die gravitative und die dissipative Prozessleistung sind:

• P_G = Δφ_G I_m = g Δh ρ I_V = 9.81 N/kg * 3.5 m * 850 kg/m³ * 1.25 l/s = 36.5 W

• P_diss = Δp_R I_V = R_V1 I_V² = 9.36 10⁷ Pas/m³ * (1.25 l/s)² = 146 W (diese Prozessleistung wird dissipiert, d.h. das Öl heizt sich mit dieser Zuwachsrate an inneren Energie auf)

Um das Öl durch das Rohrstück zu pumpen, braucht es deshalb eine hydraulische Prozessleistung oder Energie pro Zeit von:

• P_hyd = P_G + P_diss = 182 W

3. Der Widerstand des 2. Rohres ist umgekehrt proportional zur 4. Potenz des Durchmessers; für parallele Widerstände werden ihre Kehrwerte addiert

• R_V2 = (d₁ / d₂)⁴ * R_V1 = (0.026 m / 0.019 m)⁴ * 9.36 10⁷ Pas/m³ = 3.28 10⁸ Pas/m³

• R_{V tot} = 1 / ( 1/R_V1 + 1/R_V2 ) = 7.28 10⁷ Pas/m³

• I_{V tot} = Δp_R / R_{V tot} = 1.61 l/s = 96.4 l/min

Aufgabe