Kapazitives Gesetz: Unterschied zwischen den Versionen
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|''A<sup>2</sup>/D''
|m<sup>3</sup>/Pa = m<sup>4</sup>s<sup>2</sup>/kg
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|Elektrodynamik
|[[Plattenkondensator]]
|''ε<sub>0</sub>A/d''
|Farad (F)
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|Translationsmechanik
|[[starrer Körper]]
|träge Masse ''m''
|Kilogramm (kg)
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|Rotationsmechanik
|[[starrer Körper]]
|Massenträgheit ''J''
|kg m<sup>2</sup>
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==Energie==
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Version vom 17. August 2006, 18:57 Uhr
Begriff
Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder Primärgrösse mit dem zugehörigen Potenzial (das Potenzial ist eine Funktion der Menge, die Menge eine Funktion des Potenzials):
φM = f(M) oder M = f-1(φM)
Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige Kapazität ist dann eine Konstante:
ΔφM = ΔM / CM oder ΔM = CM ΔφM
Der Begriff Kapazität kann auch verwendet werden, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst:
dφM = dM / CM(φM) oder dM = CM(φM) dφM
Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration) über alle Zwischenzustände (Füllzustände):
M = ∫ dM = ∫ CM(φM) dφ
Beispiele
Gebiet | Element | Kapazität | Einheit | Bemerkung |
---|---|---|---|---|
Hydrodynamik | zylindrisches Gefäss | A/(ρg) | m3/Pa = m4s2/kg | A(h) für beliebige Gefässe |
Hydrodynamik | Federspeicher | A2/D | m3/Pa = m4s2/kg | D Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante |
Elektrodynamik | Plattenkondensator | ε0A/d | Farad (F) | d Plattenabstand |
Translationsmechanik | starrer Körper | träge Masse m | Kilogramm (kg) | alle drei Komponenten |
Rotationsmechanik | starrer Körper | Massenträgheit J | kg m2 | symmetrischer Tensor |
Thermodynamik | homogener Stoff | mcS | J/K2 | cS=cW/T |
Energie
Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über die Energiebilanz, den zugeordneten Energiestrom, die Mengenbilanz und das Kapazitivgesetz:
dW/dt = ∑i IWi = ∑i (φM IMi)= φM ∑i IMi = φM dM/dt = CM(φM) φM dφM/dt
Multipliziert man die Änderungsraten mit dem Zeitschritt dt und summiert (integriert) über alle Zwischenzustände, folgt:
ΔW = ∫ dW = ∫ φM dM = ∫ CM(φM) φM dφM
Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral einfach ausgewertet werden:
ΔW = ∫ φM dM = ∫ CM φM dφM = 1/2 CM [(φM nachher)2 - (φM vorher)2]
Ist der Speicher zu Beginn leer, gilt:
W = 1/2 CM (φM)2