DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Unterschied zwischen den Versionen

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Im Kapitel [[Dynamische Systeme 1. Ordnung]] wurde die folgende DGL (Differentialgleichung) für ein Gefäss mit horizontalem Abfluss (RC-Glied) hergeleitet <math>V/C+R*\dot{V}=0</math> bzw. <math>V+ ̇1/RC \dot{V}=0</math>
Im Kapitel [[Dynamische Systeme 1. Ordnung]] wurde die folgende DGL (Differentialgleichung) für ein Gefäss mit horizontalem Abfluss (RC-Glied) hergeleitet <math>V/C+R*\dot{V}=0</math> bzw. <math>V + 1/RC * \dot{V}=0</math>
#Lösen Sie diese DGL, in dem sie den Ansatz <math>V=V_0*e^{-t/RC}</math> ableiten und in die DGL einsetzen.
#Lösen Sie diese DGL, in dem sie den Ansatz <math>V=V_0*e^{-t/RC}</math> ableiten und in die DGL einsetzen.
#Lösen Sie diese DGL mit Hilfe von [http://www.wolframalpha.com Wolfram Alpha] oder eines CAS-fähigen Taschenrechners.
#Lösen Sie diese DGL mit Hilfe von [http://www.wolframalpha.com Wolfram Alpha] oder eines CAS-fähigen Taschenrechners.

#Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Volumens in Funktion der Zeit quantitativ dar. Wählen Sie selbst Werte für ''R'', ''C'', und ''V<sub>0</sub>'' aus.
#Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Volumens in Funktion der Zeit quantitativ dar. Wählen Sie selbst Werte für ''R'', ''C'', und ''V<sub>0</sub>'' aus.
#Mit ''&tau;=RC'' wird die Zeitkonstante des Systems bezeichnet. Welchen Wert und welche Einheit hat ''&tau;'' in Aufgabe 3?
#Mit ''&tau;=RC'' wird die Zeitkonstante des Systems bezeichnet. Welchen Wert und welche Einheit hat ''&tau;'' in Aufgabe 3?
#Auf welchen Prozentsatz ist das Volumen bei t=''&tau;'' abgesunken? Zeichnen Sie eine Tangente an die Kurve aus Aufgabe 3 und vergleichen Sie den Wert bei dem die Tangente die t-Achse schneidet mit ''&tau;''.
#Auf welchen Prozentsatz ist das Volumen bei t=''&tau;'' abgesunken? Zeichnen Sie eine Tangente an die Kurve aus Aufgabe 3 und vergleichen Sie den Wert bei dem die Tangente die t-Achse schneidet mit ''&tau;''.

'''[[Lösung zu DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten|Lösung]]'''

Version vom 5. Mai 2015, 08:00 Uhr

Im Kapitel Dynamische Systeme 1. Ordnung wurde die folgende DGL (Differentialgleichung) für ein Gefäss mit horizontalem Abfluss (RC-Glied) hergeleitet [math]V/C+R*\dot{V}=0[/math] bzw. [math]V + 1/RC * \dot{V}=0[/math]

  1. Lösen Sie diese DGL, in dem sie den Ansatz [math]V=V_0*e^{-t/RC}[/math] ableiten und in die DGL einsetzen.
  2. Lösen Sie diese DGL mit Hilfe von Wolfram Alpha oder eines CAS-fähigen Taschenrechners.
  1. Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Volumens in Funktion der Zeit quantitativ dar. Wählen Sie selbst Werte für R, C, und V0 aus.
  2. Mit τ=RC wird die Zeitkonstante des Systems bezeichnet. Welchen Wert und welche Einheit hat τ in Aufgabe 3?
  3. Auf welchen Prozentsatz ist das Volumen bei t=τ abgesunken? Zeichnen Sie eine Tangente an die Kurve aus Aufgabe 3 und vergleichen Sie den Wert bei dem die Tangente die t-Achse schneidet mit τ.

Lösung