DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Im Kapitel Dynamische Systeme 1. Ordnung wurde die folgende DGL (Differentialgleichung) für ein Gefäss mit horizontalem Abfluss (RC-Glied) hergeleitet [math]V/C+R*\dot{V}=0[/math] bzw. [math]V + 1/RC * \dot{V}=0[/math]

1. Lösen Sie diese DGL, in dem sie den Ansatz [math]V=V_0*e^{-t/RC}[/math] ableiten und in die DGL einsetzen.
2. Lösen Sie diese DGL mit Hilfe von Wolfram Alpha oder eines CAS-fähigen Taschenrechners.
3. Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Volumens in Funktion der Zeit quantitativ dar. Wählen Sie selbst Werte für R, C, und V₀ aus.
4. Mit τ=RC wird die Zeitkonstante des Systems bezeichnet. Welchen Wert und welche Einheit hat τ in Aufgabe 3?
5. Auf welchen Prozentsatz ist das Volumen bei t=τ abgesunken? Zeichnen Sie eine Tangente an die Kurve aus Aufgabe 3 und vergleichen Sie den Wert bei dem die Tangente die t-Achse schneidet mit τ.

Lösung