Dynamische Systeme höherer Ordnung

Problemstellung

Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen.

Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit Widerstand und Induktivität modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.

Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher mit reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit einem oder zwei Speicher und einer Induktivität, die also zwei unabhängig Energiespeicher besitzen, nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss.

Speicher und Leiter

Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.

Gebiet	Speicher	Widerstand	Induktivität	Bemerkung
Hydrodynamik	[math]\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}[/math]	[math]\Delta p=R_VI_V[/math]	[math]\Delta p=L_V\dot I_V[/math]	laminare Strömung
Elektrodynamik	[math]U=\frac{Q}{C}[/math] oder [math]\dot U=\frac{I}{C}[/math]	[math]U=RI[/math]	[math]U=L\dot I[/math]	Kondensator
Translationsmechanik	[math]v_x=\frac{p_x}{m}[/math]	[math]\Delta v_x=R_{px}F_x[/math]	[math]\Delta v_x=L_{px}\dot F_x[/math]	Federgesetz
Rotationsmechanik	[math]\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}[/math]	[math]\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x[/math]	[math]\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x[/math]	Drehfedergesetz

Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert. So ist der Impulswiderstand gleich dem Reziprokwert der Dämpferkonstanten und die mechanische Induktivität gleich dem Reziprokwert der Federkonstanten.

harmonischer Oszillator

Ein harmonischer Oszillator ist ein schwingungsfähiges System, das einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, es sinusförmig (=harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.

Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter vollständig beschrieben, die Gesamtkapazität und die Induktivität. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.

In der Elektrodynamik bildet ein über eine ideale Spule (Induktivität L) kurz geschlossener Kondensator (Kapazität C) einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung U₀ auf und verbindet ihn dann mit einer idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen unabhängig vom Zustand gleich gross, oder im Sinne des Maschensatzes ist die Umlaufspannung gleich null

[math]U_C+U_L=0[/math]

Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man

[math]\frac{Q}{C}+L\dot I=0[/math]

Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung

[math]Q+LC\ddot Q=0[/math]

Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist

[math]Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\beta)[/math]

wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)

[math]\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}[/math]

Die Ladungsamplitude Q₀ und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des kapazitiven Gesetzes kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden

[math]U(t)=U_0cos(\omega_0t+\beta)[/math] mit [math]U_0=\frac{Q_0}{C}[/math]

Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des induktiven Gesetzes erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke

[math]\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\beta)[/math].

Eine Integration über die Zeit liefert

[math]I(t)=I_0sin(\omega_0t+\beta)[/math] mit [math]I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0[/math]

Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt

[math]P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\beta)sin(\omega_0t+\beta)[/math]

Setzt man die Phasenverschiebung β gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppeter Frequenz (Kreisfrequenz durch 2π) schwingt

[math]P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)[/math]

Während einer Periode oder Schwingungsdauer (2π durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, muss die Energie mit der doppelten Frequenz des Oszillators umgesetzt werden.

Video: harmonischer Oszillator

gedämpfter Oszillator

Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss

[math]U_C+U_R+U_L=0[/math]

Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die Kapazität, den Widerstand und die Induktivität ein und erstetzt die Stromstärke über die Bilanzgleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine etwas allgemeinere lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

[math]\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0[/math] oder [math]\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0[/math]

Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt

[math]Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\beta)[/math]

Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung

[math]\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t-\beta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\beta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0[/math]

Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke vor den Winkelfunktionen den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit

[math]\tau =2\frac{L}{R}[/math]

und für die Kreisfrequenz

[math]\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{4}{\tau^2}}[/math]

Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen

Thema	Elektrodynamik	Hydrodynamik	Translation	Rotation
Serie-Schwingkreis	Kondensator, reale Spule	U-Rohr	Körper, Feder, Dämpfer, Körper	Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad
Systemparameter	Kapazität C	[math]C_V=\frac{A}{\varrho g}[/math]	[math]C_{px}=m[/math]	[math]C_{Lx}=J_{xx}[/math]
	Widerstand R	[math]R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}[/math]	[math]R_{px}=\frac{1}{k}[/math]	[math]R_{Lx}=\frac{1}{k^*}[/math]
	Induktivität L	[math]L_V=\frac{\varrho A}{Länge}[/math]	[math]L_{px}=\frac{1}{D}[/math]	[math]L_{Lx}=\frac{1}{D^*}[/math]
Kreisfrequenz [math]\omega_0[/math]	[math]\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}[/math]	[math]\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}[/math]	[math]\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}[/math]	[math]\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}[/math]
Abklingzeit	[math]\tau=\frac{L}{R}[/math]	[math]\tau=\frac{L_V}{R_V}[/math]	[math]\tau=\frac{k}{D}[/math]	[math]\tau=\frac{k^*}{D^*}[/math]

k ist die Dämpferkonstante, D die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Ror verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.

Resonanz

Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem unverzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet

[math]U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)[/math]

Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit [math]\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}[/math].

Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz

[math]I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)[/math]

Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen

[math]\dot U_C=\frac{I}{C}[/math] also [math]U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)[/math]

[math]U_R=RI[/math] also [math]U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))[/math]

[math]U_L=L\dot I[/math] also [math]U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))[/math]

Würde mann jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Vierelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke).

Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder rezirok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst Impedanz Z. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man Admittanz. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichter. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden

[math]Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}[/math]

Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Indukditvität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.

All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnete sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgbeaut,reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalischen Eigenheiten.

Antworten zu den Kontrollfragen

Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014