Lösung zu Aviatik 2006/4

1.

Freikörperbild

Die Summe über alle Kräfte (Impulsströme und -quellen) ergibt die Impulsänderungsrate und die Summe über alle Drehmomente (Drehimpulsströme und -quellen) ist gleich der Änderungsrate des Drehimpulses.

1. Auf die Hantel wirkt das Band (F), das Gravitationsfeld (F_G) und die Unterlage (F_N und F_HR).

2. Setzt man in die Bilanzgleichungen die kapazitiven Gesetze ein, erhält man die Grundgesetze der Mechanik

x-Impulsbilanz: [math]F_{HR} = m \dot v[/math]

y-Impulsbilanz: [math]{-}F + F_G - F_N = 0[/math]

z-Drehimpulsbilanz: [math]rF - R F_{HR} = J \dot \omega[/math]

3. Rollt die Hantel ohne Schlupf weg, gilt zusätzlich die Rollbedingung [math]v = \omega R[/math] oder [math]\dot v = \dot \omega R[/math]. Löst man nun das ganze Gleichungssystem nach der Beschleunigung auf, gilt

[math]\dot v = F \frac {rR}{J + mR^2}[/math] = 0.577 m/s²

2. Der Drehimpuls eines einzelnen Mühlsteins (Läufers) der Kollermühle ändert andauernd seine Richtung. Die zugehörige Drehimpulsänderungsrate, das Drehmoment auf den Läufer, wird durch das Zusammenspiel der Normalkraft mit einer vertikal wirkenden Kraft im Punkt A erzeugt.

1. Für die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes des Mühlsteins gilt

[math]v_{MMP} = \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2 = \frac {2 \pi r_1}{T_1} = \frac {2 \pi r_2}{T_2}[/math]

folglich dreht sich das Rad mit einer Periode von

[math]T_2 = T_1 \frac {r_2}{r_1}[/math] = 1.6 s,

was 0.625 Umdrehungen pro Sekunde entspricht.

2. Die in -x-Richtung auf das Rad einwirkende Kraft ist gleich der Impulsänderungsrate

[math]F_x = m \omega_1^2 r_1[/math] = 120 kg * (1.57 s^-1)² * 1 m = 296 N

3. Die Drehimpulsänderungsrate oder das resultierende Drehmoment ist gleich [math]\vec M = \vec \omega_1 \times \vec L[/math]. Weil die beiden Vektoren normal zueinander stehen, kann der Betrag des Drehmoments direkt als Produkt geschrieben werden

[math]M = \omega_1 L = \omega_1 \omega_2 J[/math] = 1.57 s^-1 3.93 s^-1 9.6 kgm² = 59 Nm.

4. Das resultierende Drehmoment wird durch ein Kräftepaar erzeugt, an dem auch die Normalkraft beteiligt ist. Deshalb gilt

[math]F_N = F_G + \frac {M}{r_1}[/math] = 1236 N

3. Eine Wärmepumpe fördert Entropie von einem kälteren Körper (Wärmebad, Reservoir) in einen wärmeren. Bei realen Wärmepumpen nimmt die Entropie zu. Verantwortlich für diese Entropieproduktion sind die nicht idealen Prozesse, die im Innern der Wärmepumpe ablaufen.

1. Die Wärmepumpe bildet einen Knoten bezüglich drei Energieströme. Als gilt: [math]I_{W1} = I_{W2} - P[/math] = 12 kW.
2. Die Wärmepumpe gibt einen Entropiestrom von [math]I_{S2} = \frac {I_{W2}}{T_2}[/math] = 48.4 W/K ab und saugt einen Entropiestrom der Stärke [math]I_{S1} = \frac {I_{W1}}{T_1}[/math] = 44.4 W/K an. Die Differenz von 3.94 W/K ist die Produktionsrate. Sie entspricht 8.15% des abgehenden Entropiestromes.
3. Eine ideale Wärmepumpe fördert einen Strom von 48.4 W/K über eine Höhe von 40 K, wozu sie eine Leistung von [math]P = \Delta T I_{S2}[/math] = 1.94 kW benötigt.

4. Wasser wird heiss, sobald es Entropie aufnimmt. Diese Entropie kann direkt im Wasser erzeugt werden (Tauchsiederprinzip) oder von der Umgebung ins Wasser hinein gefördert werden. Die letzte Frage bezieht sich auf die Utopie eines absolut reversibel (ideal, ohne Entropieproduktion) geführten Prozesses.

1. Die elektrisch zugeführte Energie entspricht der Enthalpieänderung: [math]W_{el} = \Delta H = m c \Delta T[/math] = 125 MJ (34.8 kWh).
2. Die zum Aufheizen des Wassers notwendige Energie (Enthalpieänderung) muss auf 373 K gepumpt werden. Diese Wärmeenergie wird bei einer Temperatur von 373 K von [math]S = \frac {Q}{T_o}[/math] = 336 kJ/K Entropie transportiert. Um diese Entropie zu fördern, benötigt die Pumpe [math]W = \Delta T S[/math] = 33.6 MJ (0.34 kWh) Energie.
3. Das Wasser erwärmt sich von 20°C auf 80°C, weil es [math]\Delta S = m c ln \frac {T_2}{T_1} = S_{auf}[/math] = 389 kJ/K Entropie aufnimmt. Entzieht die Wärmepumpe diese Entropie der Umgebung, schleppt diese [math]Q = T_U S_{auf}[/math] = 110 MJ Energie in Form von Wärme in die Pumpe hinein. Die Differenz zwischen der Energieänderung des Wassers und der von der Entropie in die Pumpe hinein getragenen Energie muss die Wärmepumpe selber aufbringen [math]W = \Delta H - Q[/math] = 15.2 MJ (4.23 kWh).

5. Im stationären Zustand muss der Wärmeverlust des Wasserbetts ausgeglichen werden. Stellt man die Heizung ab, verhält sich das Wasserbett wie ein thermisches RC-Glied.

1. Die elektrische Leistung von 41.7 W entspricht dem im stationären Betrieb weg fliessenden Wärmeenergiestrom. Daraus lässt sich der thermische Gesamtleitwert des Betts berechnen [math]G_W = \frac {I_{W1}}{\Delta T_1}[/math] = 4.17 W/K. Verkleinert sich die über dem Leitwert angelegte Temperaturdifferenz von 10°C auf 7°C, sinkt die Stärke des Energiestromes auf [math]I_{W2} = G_W \Delta T[/math] = 29.2 W ab.
2. Das abkühlende Wasserbett verhält sich wie ein thermisches RC-Glied, wobei die Zeitkonstante gleich [math]\tau = \frac {C}{G_W} = \frac {mc}{G_W}[/math] = 6.02 10⁵ s ist. Aus Entladefunktion des RC-Gliedes [math]\Delta T = \Delta T_0 e^{- t/\tau}[/math] erhält man die gesuchte Zeit [math]t = \tau \ln \frac {\Delta T_0}{\Delta T}[/math] = 7.54 10⁵ s oder 8.7 Tage.

6. Der Betonbunker entspricht in seiner Struktur und seinem dynamischen Verhalten dem Iglu.