Gesetz von Bernoulli

Das Gesetz von Daniel Bernoulli (* 8. Februar 1700 in Groningen; † 17. März 1782 in Basel) basiert auf der Energieerhaltung längs eines Stromfadens. Das Gesetz gilt, falls

• das strömende Fluid inkompressibel ist
• keine Reibung auftritt, die Viskosität gleich Null ist
• die Strömung stationär ist

In einer Potenzialströmung kann das Gesetz von Bernoulli zwischen zwei beliebigen Punkten angewendet werden, d.h. bei einer Potenzialströmung gilt das Gesetz von Bernoulli auch zwischen zwei Punkten, die nicht im gleichen Stromfaden liegen.

Herleitung

Wählt man längs einer stationären Strömung eines reibungsfreien, inkompressiblen Fluids zwei Querschnittflächen in der gleichen Stromröhre aus, muss der durch den ersten Querschnitt transportierte Energiestrom gleich stark sein wie der durch die zweite Fläche tretende Energiestrom. Da der Energiestrom die drei Komponenten kinetische, potenzielle und hydraulische Energie aufweist, lautet die Energiebilanz für das Raumgebiet in der Stromröhre zwischen den beiden Flächen

[math]\left(\frac{\varrho}{2}v_1^2+\varrho gh_1+p_1\right)I_V{_1}+\left(\frac{\varrho}{2}v_2^2+\varrho gh_2+p_2\right)I_V{_2} = 0 [/math]

Kürzt man die beiden entgegengesetzt gleichen Volumenstromstärken weg, erhält man das Gesetz von Bernoulli

[math]\frac {\varrho}{2} v_1^2 + \varrho g h_1 + p_1 = \frac {\varrho}{2} v_2^2 + \varrho g h_2 + p_2[/math]

Die drei Terme des Gesetzes von Bernoulli werden oft als Druck bezeichnet, obwohl nur p für einen Druck steht (nur p beschreibt eine isotrope Impulsstromdichte)

• statische Druck [math]p[/math]: mit dem Manometer messbar
• Staudruck [math]\frac {\varrho}{2} v_1^2 [/math]: Dichte der kinetischen Energie
• hydrostatische Druck [math]\varrho g h[/math]: Dichte der potenziellen Energie

Alle drei Terme zusammen nennt man auch Gesamtdruck, was oft zu Missverständnissen Anlass gibt.

Gültigkeit und Anwendung

Das Gesetz von Bernoulli basiert auf einem Vergleich von Energiestromstärken bzw. Energiestromdichten zwischen verschiedenen Referenzflächen bzw. Bezugspunkten einer Strömung. Bei der Anwendung des Gesetzes von Bernoulli geht man wie folgt vor:

1. Abklären, ob die Bedingungen des Gesetzes von Bernoulli erfüllt sind:
   1. Liegen alle Bezugspunkte im gleichen Stromfaden oder in der gleichen unverzweigten Rohrströmung (Ausnahme: bei einer Potenzialströmung müssen die Punkte strömungsmässig nicht miteinander verbunden sein)?
   2. Geht zwischen den beiden Punkten Energie weg (Reibung, Turbine, Hydraulikmotor) oder kommt welche dazu (Pumpe)?
   3. Spielt die Kompressibilität des Fluids wirklich keine grosse Rolle?
   4. Ist die Strömung stationär oder fällt die Änderungsrate der Energie im dazwischenliegenden Gebiet nicht ins Gewicht?
2. Punkte auswählen und durchnummerieren.
3. Für jeden Punkt alle drei Terme des Gesetzes von Bernoulli formulieren.
4. Die drei Terme des Gesetzes von Bernoulli für zwei Punkte gleich setzen.
5. Irrelevante Terme wegkürzen, eventuell Geschwindigkeiten mit Hilfe der Volumenerhaltung in Beziehung setzten und nach der gesuchten Grösse auflösen.

Spezialfälle und Beispiele

Aus dem Gesetz von Bernoulli können weitere Gesetze als Spezialfälle abgeleitet werden

• Zunahme des Druckes mit der Eintauchtiefe (Druckgesetz der Hydrostatik)
• Ausflussgesetz von Torricelli
• Venturirohr
• Staurohr von Prandtl oder Pitot

Beispiele: