Lösung zu Badewanne: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 25. März 2008, 16:55 Uhr

Die zuzuführende Wärmeenergie ist gleich der Änderung der Enthalpie des Wassers [math]\Delta H = m c \Delta T[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * 25 K = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz.
Weil W₃ = W₄ = ΔH ist, ist die von der Wärmepumpe bei 50°C abegebene Entropie S₃ gleich [math]S_3 = \frac {W_3}{T_2} = \frac {\Delta H}{T_2}[/math] = 58.4 kJ/K. Um die Entropie S₁ = S₂ = S₃ um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe die Energie W_WP im Umfang von [math]W_{WP} = (T_2 - T_1) \cdot S_1[/math] = 2.9 MJ oder 0.81 kWh.
Die Entropie des Wassers nimmt um [math]S = m c \ln{\frac{T_e}{T_a}}[/math] = 62.8 kJ/K zu. Diese Entropie trägt eine Wärmeenergie von [math]Q = T_U S[/math] = 17.8 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zur Enthalpieänderung, also W = Δ H - Q = 1.09 MJ (0.3 kWh) aufbringen.
Die Enthalpie des Wassers ändert sich um [math]\Delta H = m c \Delta T[/math] = -15.1 MJ und die Entropie um [math]\Delta S = m c \ln{\frac{T_e}{T_a}}[/math] = -515 kJ/K. Diese Entropie nimmt [math]Q = T_U S[/math] = 14.6 MJ Energie in Form von Wärme an die Umwelt mit. Die Differenz zwischen der Abnahme der Enthalpie und der Abwärme ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 51 kJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm).

Aufgabe

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 #Die zuzuführende Wärmeenergie ist gleich der Änderung der [[Enthalpie]] des Wassers <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * 25 K = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz.
-#Die von der [[Wärmepumpe]] bei 50°C abegebene Entropie ist gleich <math>S = \frac {\Delta H}{T_2}</math> = 58.4 kJ/K. Um diese Entropie um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe Energie im Umfang von <math>W = \Delta T S</math> = 2.9 MJ oder 0.81 kWh. [[Bild:Badewanne.png]]
+#Weil W<sub>3</sub> = W<sub>4</sub> = &Delta;H ist, ist die von der [[Wärmepumpe]] bei 50°C abegebene Entropie S<sub>3</sub> gleich <math>S_3 = \frac {W_3}{T_2} = \frac {\Delta H}{T_2}</math> = 58.4 kJ/K. Um die Entropie S<sub>1</sub> = S<sub>2</sub> = S<sub>3</sub> um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe die Energie W<sub>WP</sub> im Umfang von <math>W_{WP} = (T_2 - T_1) \cdot S_1</math> = 2.9 MJ oder 0.81 kWh. [[Bild:Badewanne2.png]]
 #Die [[Entropie]] des Wassers nimmt um <math>S = m c \ln{\frac{T_e}{T_a}}</math> = 62.8 kJ/K zu. Diese Entropie trägt eine Wärmeenergie von <math>Q = T_U S</math> = 17.8 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zur Enthalpieänderung, also ''W'' = ''&Delta; H - Q'' = 1.09 MJ (0.3 kWh) aufbringen.
 #Die Enthalpie des Wassers ändert sich um <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = -15.1 MJ und die Entropie um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_e}{T_a}}</math> = -515 kJ/K. Diese Entropie nimmt <math>Q = T_U S</math> = 14.6 MJ Energie in Form von Wärme an die Umwelt mit. Die Differenz zwischen der Abnahme der Enthalpie und der Abwärme ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 51 kJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm).