Kugelstosspendel: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 11. November 2008, 12:50 Uhr

Ein Kugelstosspendel (auch Kugelpendel, Newtonpendel oder Newton-Wiege) ist eine Anordnung von hintereinander aufgehängten Kugeln gleicher Masse und Pendellänge. Wenn man die am weitesten rechts liegende Kugel anhebt und gegen die andern prallen lässt, wird die am weitesten links liegende Kugel abgestossen. Hebt man zwei Kugeln an, fliegen auf der andern Seite zwei weg und so weiter. Hebt man mehr als die Hälfte der Kugel an, ist die Zahl der weggehenden Kugeln immer noch gleich der Zahl der aufprallenden. Die mittleren Kugeln gehören dann sowohl zu den aufprallenden als auch zu den abgestossenen. Im Extremfall ist anfänglich nur die Kugel ganz links in Ruhe und nach dem Stoss die ganz rechts positionierte

gängige Erklärung

Die im nebenstehenden Bild am weitesten links liegende, ruhende Kugel nimmt den Impuls der aufprallenden Kugel auf und gibt ihn an die rechts daneben liegende Kugel ab, jene dann an die rechts daneben und so weiter. Die am weitesten rechts liegende Kugel kann allerdings keinen Impuls mehr weitergeben und wird abgestossen.

Bei diesem Vorgang handelt es sich um eine abfolge von elastische Stössen, bei denen die kinetische Energie und der Impuls erhalten bleiben. Da beim Stoss keine weiteren Kräfte in Bewegungsrichtung wirken, muss der Impuls der [math]n_1[/math] Kugeln der Masse [math]m[/math], die mit der Geschwindigkeit [math]v_1[/math] von links auf die ruhenden Kugeln treffen, gleich dem Impuls der [math]n_2[/math] weg gestossenen Kugeln der Masse [math]m[/math] sein. Nimmt man weiterhin an, dass die angestossenen Kugeln sich kollektiv mit der Geschwindigkeit [math]v_2[/math] nach rechts bewegen, besagt die Impulserhaltung

[math]n_1\,m\,v_1 = n_2\,m\, v_2 \,.[/math]

Zudem muss die Energie vor und nach dem Stoss übereinstimmen

[math]n_1 \,m\,\frac{v_1^2}{2} = n_2\,m\, \frac{v_2^2}{2}\,. [/math]

Schreibt man dies als

[math] n_1 \,m\,v_1\,\frac{v_1}{2} = n_2\,m\,v_2\, \frac{v_2}{2}\,,[/math]

und berücksichtigt man die erste Gleichung, so sind, da [math]n_1 \,m\,v_1[/math] nicht Null ist, die Geschwindigkeiten gleich, [math]v_1=v_2\,.[/math] Dann besagt die erste Gleichung [math]n_1=n_2:[/math] es fliegen so viele Kugeln weg wie auftreffen.

Hier wurde angenommen, dass sich die angestoßenen Kugeln alle mit der gleichen Geschwindigkeit wegbewegen und die restlichen ruhen. Dass sie das tun, kann man aber bei mehr als zwei Kugeln nicht aus der Energie- und Impulserhaltung folgern.

Literatur

F. Herrmann, P. Schmälzle: A simple explanation of a well-known collision experiment, Am. J. Phys. 49, 761 (1981)
F. Herrmann, M. Seitz: How does the ball-chain work?, Am. J. Phys. 50, 977 (1982)

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 == gängige Erklärung ==
-Die im nebenstehenden Bild am weitesten links liegende, ruhende Kugel nimmt den [[Impuls]] der aufprallenden Kugel auf und gibt ihn an die rechts daneben liegende Kugel ab, jene dann an die rechts daneben und so weiter. Die am weitesten rechts liegende Kugel kann allerdings keinen Impuls mehr weitergeben und wird abgestoßen.
+Die im nebenstehenden Bild am weitesten links liegende, ruhende Kugel nimmt den [[Impuls]] der aufprallenden Kugel auf und gibt ihn an die rechts daneben liegende Kugel ab, jene dann an die rechts daneben und so weiter. Die am weitesten rechts liegende Kugel kann allerdings keinen Impuls mehr weitergeben und wird abgestossen.
-Dabei handelt es sich um [[elastischer Stoß|elastische Stöße]], bei denen die [[kinetische Energie]] und der [[Impuls]] erhalten bleiben. Da beim Stoß keine äußeren Kräfte in Bewegungsrichtung wirken,  muss der Impuls der <math>l</math> Kugeln der Masse <math>m</math>, die mit der Geschwindigkeit <math>v_l</math> von links auf die ruhenden Kugeln treffen, gleich dem Impuls der <math>r</math> angestoßenen Kugeln der Masse <math>m</math> sein, die angestoßen werden. Nimmt man weiterhin an, dass die angestoßenen Kugeln sich kollektiv mit der Geschwindigkeit <math>v_r</math> nach rechts bewegen, besagt die Impulserhaltung
+Bei diesem Vorgang handelt es sich um eine abfolge von [[elastischer Stoss|elastische Stössen]], bei denen die [[kinetische Energie]] und der [[Impuls]] erhalten bleiben. Da beim Stoss keine weiteren Kräfte in Bewegungsrichtung wirken,  muss der Impuls der <math>n_1</math> Kugeln der Masse <math>m</math>, die mit der Geschwindigkeit <math>v_1</math> von links auf die ruhenden Kugeln treffen, gleich dem Impuls der <math>n_2</math> weg gestossenen Kugeln der Masse <math>m</math> sein. Nimmt man weiterhin an, dass die angestossenen Kugeln sich kollektiv mit der Geschwindigkeit <math>v_2</math> nach rechts bewegen, besagt die Impulserhaltung
-:<math>l\,m\,v_l = r \,m\, v_r \,.</math>
+:<math>n_1\,m\,v_1 = n_2\,m\, v_2 \,.</math>
-Weiterhin muss die Energie vor und nach dem Stoß übereinstimmen, wobei man die Energie vernachlässigt, die in Schwingungen der Kugeln geht,
+Zudem muss die Energie vor und nach dem Stoss übereinstimmen
-:<math>l \,m\,\frac{v_l^2}{2} = r\,m\, \frac{v_r^2}{2}\,.  </math>
+:<math>n_1 \,m\,\frac{v_1^2}{2} = n_2\,m\, \frac{v_2^2}{2}\,.  </math>
 Schreibt man dies als
-:<math> l \,m\,v_l\,\frac{v_l}{2} = r\,m\,v_r\, \frac{v_r}{2}\,,</math>
+:<math> n_1 \,m\,v_1\,\frac{v_1}{2} = n_2\,m\,v_2\, \frac{v_2}{2}\,,</math>
-und berücksichtigt man die erste Gleichung, so sind, da <math>l \,m\,v_l</math> nicht Null ist, die Geschwindigkeiten gleich, <math>v_l=v_r\,.</math> Dann besagt die erste Gleichung <math>l=r:</math> es fliegen so viele Kugeln weg wie auftreffen.
+und berücksichtigt man die erste Gleichung, so sind, da <math>n_1 \,m\,v_1</math> nicht Null ist, die Geschwindigkeiten gleich, <math>v_1=v_2\,.</math> Dann besagt die erste Gleichung <math>n_1=n_2:</math> es fliegen so viele Kugeln weg wie auftreffen.
 Hier wurde angenommen, dass sich die angestoßenen Kugeln alle mit der gleichen Geschwindigkeit wegbewegen und die restlichen ruhen. Dass sie das tun, kann man aber bei mehr als zwei Kugeln nicht aus der Energie- und Impulserhaltung folgern.
-Denn wenn im Schwerpunktsystem <math>l</math> Kugeln von links mit Geschwindigkeit <math>v_l</math> auf <math>r</math> Kugeln mit Geschwindigkeit <math>v_r</math> stoßen, wobei <math>l\,v_l+r\,v_r=0</math> gilt, so ist mit Energie- und Impulserhaltung verträglich, dass nach dem Stoß <math>l</math> Kugeln mit Geschwindigkeit <math>v_l</math> nach rechts und <math>r</math> Kugeln mit Geschwindigkeit <math>v_r</math> nach links weiterlaufen.  Aber auch  <math>l</math> Kugeln mit umgedrehter Geschwindigkeit <math>-v_l</math> und <math>r</math> Kugeln mit Geschwindigkeit <math>-v_r</math> sind möglich.
-Zur Erklärung des Verhaltens der Kugelkette muß man genauer bedenken, wie eine Stoßwelle durch die Kette hindurchläuft.
 == Literatur ==