Wärmeleitung

Wärme ist die Energie, die zusammen mit der Entropie über die Systemgrenze transportiert wird. Zwischen der Stärke des Energiestromes und Entropiestromes gilt ein fundamentaler Zusammenhang

[math]I_W=TI_S[/math]

Dieser Zusammenhang zwischen Entropie- und Energiestrom gilt nicht nur bezogen auf eine Systemoberfläche. Sie darf viel allgemeiner angewendet werden. Legt man z.B. durch einen Wärme leitenden Stab einen Schnitt entlang einer Fläche gleicher Temperatur, gilt der oben formulierte Zusammenhang bezüglich jeder möglichen Schnittfläche. Weil die Energie bei der Wärmeleitung erhalten bleibt, muss der Entropiestrom mit abnehmender Temperatur immer stärker werden.

Entropieproduktion

Setzt ein beliebiger Prozess eine Leistung frei, ohne dass diese von einem zweiten Prozess aufgenommen wird, dient die freigesetzte Leistung der Produktion von Entropie. Die Entropieproduktionsrate ist bei vollständiger Dissipation gleich Prozessleistung dividiert durch absolute Temperatur

[math]\Pi_S=\frac{P_{diss}}{T}[/math]

Nun setzt ein Entropiestrom, der von hoher zu einer tieferen Temperatur fliesst, die folgende Prozessleistung frei

[math]P=(T_1-T_2)I_{S1}[/math]

Diese Prozessleistung wird bei der Wärmeleitung vollständig dissipiert. Demnach ist die Produktionsrate gleich

[math]\Pi_S=\frac{P}{T_2}=\frac{(T_1-T_2)I_{S1}}{T_2}[/math]

Der Entropiestrom vergrössert sich im Wärme leitenden Bauteil um diesen Wert auf

[math]I_{S2}=I_{S1}+\Pi_S=\frac{T_1}{T_2}I_{S1}[/math]

Durch Multiplikation mit der Ausgangstemperatur erhält man die Aussage, dass der zugeordnete Energiestrom bei der Wärmeleitung am Ausgang gleich gross ist wie am Eingang

[math]I_{W2}=T_2I_{S2}=T_1I_{S1}=I_{W1}[/math]

Bei der Wärmeleitung nimmt die Entropie längs des Stromes zu und die Energie bleibt erhalten, d.h. der zugeordneter Energiestrom ist konstant. Deshalb operiert man bei der Wärmeleitung meist mit der Energie statt der eigentlichen Wärmegrösse, der Entropie.

Wärmeleiter

Wird ein Wärme leitender Stoff von einem stationären Wärmestrom durchflossen, nimmt die Entropie zu und der zugeordnete Energiestrom bleibt erhalten. Deshalb beschreibt man die Wärmeleitung mit der Energie als Bilanzgrösse.

Der einfachst mögliche Ansatz, der von vielen Stoffen bei relativ kleinen Temperaturdifferenzen auch nachzuweisen ist, besagt, dass der Energiestrom durch ein Bauteil proportional mit der Temperaturdifferenz zunimmt

[math]I_W=G_W\Delta T[/math]

Der bauteilspezifische Proportionalitätsfaktor heisst in Anlehnung an die Elektrizitätslehere Wärmeleitwert. Der Wärmeleitwert wird in Watt pro Kelvin gemessen. Selbstverständlich könnte man auch einen Wärmewiederstand definieren

[math]I_W=\frac{1}{R_W}\Delta T[/math]

Im Falle eines prismatischen Wärmeleiters (Kupferstab, Polystyrolplatte) nimmt der Wärmeleitwert proportional mit dem Querschnitt A zu und umgekehrt proportinal zut Länge des Stabs oder zur Dicke der Platte d, (Weg, den die Wärme zurück legen muss) ab

[math]G_W=\lambda\frac{A}{d}[/math]

λ hängt vom verwendeten Material ab und heisst Wärmeleitfähigkeit. Die Wärmeleitfähigkeit hat die Einheit Watt pro Kelvin und Meter.

lokale Formulierung

Das Temperaturgefälle treibt den Wärmestrom. Diese Formulierung lässt sich unmittelbar in Fouriersche Gesetz umschreiben, falls das Gefälle mit Hilfe des Gradienten und der Wärmestrom als Dichte geschrieben wird

[math]\vec j_W=-\lambda\cdot grad(T)[/math]

oder mit der Einstein-Notation

[math]j_{W_{,i}}=-\lambda T_{,i}[/math]

Integriert man diese Differentialbeziehung bei stationärer Wärmeleitung über ein bestimmtes Bauteil mit gegebenen Eingangs- und Ausgangstemperaturen, erhält man wieder die systemspezifische Schreibweise

[math]I_W=G_W\Delta T[/math],

wobei bei einfachen Geometrien für den Wärmeleitwert eine Formel angegeben werden kann.

Wärmeleitwert verschiedener Körper:

• Prisma (Querschnitt A, Länge d): [math]G_W=\lambda\frac{A}{d}[/math]
• Rohrmantel (Länge l, Innendurchmesser r, Aussendurchmesser R): [math]G_W=2\pi\lambda \frac{l}{\ln(R/r)}[/math]
• Hohlkugel(Innendurchmesser r, Aussendurchmesser R): [math]G_W=4\pi\lambda\frac{R\cdot r}{R-r}[/math]