Unwucht

Phänomen

Ein Rotator, ein bezüglich einer festen Achse drehbar gelagerter Körper, ist er opimal ausgewuchtet, wenn seine Lager unabhängig von der Drehzahl belastet werden. Beim nicht ausgewuchteten Rotator treten drehzahlabhängige Vibrationen auf, die zu Verschleiss und im Extremfall zur Zerstörung des ganzen Systems führen können.

Als Modellkörper nehmen wir eine horizontal ausgerichtete Scheibe, die auf einer vertikal stehenden Achse zentriert ist. Die Achse selber ist am unteren und am oberen Ende, symmetrisch zur Scheibe gelagert. Im Ruhezustand müssen die Lager nur die durch die Gewichtskraft verursachten Achsialkräft "aufnehmen", d.h. der durch das Gravitationsfeld zufliessende Impuls muss über die Lager abgeführt werden. Aus Symmetriegründen ist dieser Grundkörper ausgewuchtet.

Befestigt man weit aussen auf der Scheibe je einen kleinen Körper auf der oberen und einen auf der unteren Fläche, werden beide Lager im Gleichtakt belastet, sobald das Sysem in Rotation versetzt wird. Die mit den beiden kleinen Körpern erzeugte Unwucht nennt man statisch. Das Wort erklärt sich von selbst, wenn man die Achse horizontal hält. Dann schwingt die Scheibe gedämpft hin und her, bis die beiden Körper an der tiefsten Stelle zur Ruhe kommen.

Nimmt man den unteren Körper wieder weg und befestigt ihn auf dem diametral gelegenen Punkt auf der unteren Scheibenfläche, erzeugt man eine dynamische Unwucht. Die dynamische Unwucht macht sich nicht bemerkbar, wenn man die Achse horizontal hält, d.h der Rotator kann in jeder Position zur Ruhe kommen. Fährt man nun die Drehzahl hoch, werden die Lager im Gegentakt belastet.

statische Unwucht

Bei der statischen Unwucht liegt der Massenmittelpunkt nicht auf der Symmetrieachse. Folglich ändert sich der Impulsinhalt des rotierenden Körpers im Gleichtakt mit der Drehbewegung. Der Impulsaustausch mit der Erde erfolgt über die beiden Lager.

Die Impulsänderungsrate kann allgemein als Änderungsrate des Betrages in Kombination mit einer Kippbewegung geschrieben werden (vergl. Kreisbewegung):

[math]\dot {\vec p} = \dot p \frac {\vec p} {p} + \vec \omega \times \vec p[/math]

Bei konstanter Drehzahl bleibt der Betrag des Impulsvektors konstant. Der Impuls ändert aber seine Richtung, er dreht sich mit dem Rotator mit. Die zugehörige Impulsänderungsrate führt zu einem Impulsstrom, den man resultierende Kraft nennt

[math]\vec F_{res} = \vec \omega \times \vec p[/math]

Die resultierende Kraft steht normal zur Achse und normal zum Impuls, zeigt also vom Massenmittelpunkt gegen die Achse (dass man diese Kraft im Massenmittelpunkt einzeichnet, ist reine Konvention; der Pfeil der resultierenden Kraft symbolisiert einfach nur die Impulsänderungsrate des ganzen Rotators).

Der Betrag der resultierenden Kraft hängt ausschliesslich von der Winkelgeschwindigkeit des Rotors und dem Betrag des Gesamtimpulses ab. Nun kann der Impuls durch Masse und Geschwindigkeit, bzw. Winkelgeschwindigkeit ersetzt werden

F_res = ω p = ω m v_MMP = m s ω²

s steht für den Abstand des Massenmittelpunktes von der Drehachse. Der durch F_res ausgedrückte Drehimpulsstrom verteilt sich auf beide Lager.

dynamische Unwucht

Bei der dynamischen Unwucht liegt der Massenmittelpunkt auf der Symmetrieachse. Folglich ist der Impulsinhalt des rotierenden Körpers gleich Null. Dafür zeigt der Drehimpulsvektor nicht in Richtung der Drehachse, in Richtung von ω. Dynamische Unwucht tritt auf, wenn die Drehachse nicht mit der Hauptachse des starren Körpers zusammenfällt. Nun zerlegen wir den Drehimpulsvektor in eine paralle Komponente, die konstant bleibt und eine radiale oder normale Komponenten, die zusammen mit dem Körper herumgewirbelt wird. Diese periodische Drehimpulsänderung führt zu einem Drehimpulsaustausch mit der Erde.

Die Drehmpulsänderungsrate kann allgemein als Änderungsrate des Betrages in Kombination mit deiner Kippbewegung geschrieben werden:

[math]\dot {\vec L} = \dot L \frac {\vec L} {L} + \vec \omega_k \times \vec L[/math]

Bei konstanter Drehzahl führt die Normalkomponente des Drehimpulses eine Kippbewegung aus. Diese Drehimpulsänderung erzwingt einen Drehimpulsstrom, den man resultierendes Drehmoment nennt

[math]\vec M_{res} = \vec \omega \times \vec L_n[/math]

Das resultierende Drehmoment steht normal zur Achse und zur Normalkomponente des Drehimpulses. Der Betrag dieses Drehmomentes hängt demnach nur von der Winkelgeschwindigkeit des Rotors und dem Betrag der Normalkomponente ab. Nun kann der Normalanteil des Drehimpulses als Deviations- oder Zentrifugalmoment mal Winkelgeschwindigkeit geschrieben werden

M_res = ω L_n = D ω²

Das Deviationsmoment, das wie das Massenträgheitsmoment in kgm² gemessen wird, kann berechnet oder experimentell bestimmt werden. Der mit M_res beschriebene Drehimpulsstrom führt gemäss dem Hebelgesetz zu einem umlaufenden Kräftepaar auf beide Lager.

allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall ist ein Körper weder statisch noch dynamisch ausgewuchtet. Die Unwucht kann dennoch eindeutig in einen statischen und einden dynamischen Anteil zerlegt werden. Der statische Anteil führt zu einer umlaufenden, resultierenden Kraft, der dynamische zu einem umlaufenden, resultierenden Drehmoment. Beide Einwirkungen nehmen quadratisch mit der Drehzahl zu.

Welche spezielle Belastungen eine Unwucht hervorrruft, hängt von der Geometrie der Lagerandordnung ab. Ordnet man zwei Lager symmetrisch zum Massenmittelpunkt an, "trägt" im Falle der statischen Unwucht jedes Lager die halbe Kraft. Dann fliessen die beiden Impulskomponenten in zwei symmetrischen geteilten Impulsströmen zu und ab. Bei der dynamischen Unwucht werden die Lager im Gegentakt belastet. Die beiden Impulskomponenten fliessen dann in Form von zwei versetzten Wechselströmen von einem Lager zum andern und erzeugen eine Drehimpulsquelle; sie bilden ein umlaufendes Kräftepaar.

Misst man in beiden Lagern je die Stromstärke einer Impulskomponente (die Kraft in eine Richtung), erhält man zwei sinusförmige Signale, die eindeutig der resultierende Kraft und dem resultierenden Drehmoment zugeordneten werden können. Die Kraft, die zur statischen Unwucht gehört, und das Drehmoment, das die dynamische Unwucht ausmacht, nehmen mit dem Quadrat zur Drehzahl zu. Sind die Lager anders angeordnet, sieht die Belastung der Lager - nicht aber die Änderungsraten von Impuls und Drehimpuls - anders aus