Gesetz von Bernoulli

Das Gesetz von Bernoulli basiert auf der Energieerhaltung längs eines Stromfadens. Das Gesetz gilt, falls

• das strömende Fluid inkompressibel ist
• keine Reibung auftritt, die Viskosität gleich Null ist
• die Strömung stationär ist

Das Gesetz von Bernoulli kann in einer Potenzialströmung zwischen zwei beliebigen Punkten angewendet werden: bei einer Potenzialströmung gilt das Gesetz von Bernoulli auch zwischen zwei Punkten, die nicht im gleichen Stromfaden liegen.

Herleitung

Wählt man längs einer stationären Strömung eines reibungsfreien, inkompressiblen Fluids zwei Querschnittflächen in der gleichen Stromröhre aus, muss der durch den ersten Querschnitt transportierte Energiestrom gleich stark sein wie der durch die zweite Fläche tretende Energiestrom. Da der Energiestrom die drei Komponenten kinetische, potenzielle und hydraulische Energie aufweist, lautet die Energiebilanz für das Raumgebiet in der Stromröhre zwischen den beiden Flächen

[math]\left(\frac {\rho}{2} v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 \right) I_V{_1} + \left(\frac {\rho}{2} v_2^2 + \rho g h_2 + p_2 \right) I_V_2 = 0 [/math]

Kürzt man die beiden entgegengesetzt gleichen Volumenstromstärken weg, erhält man das Gesetz von Bernoulli

[math]\frac {\rho}{2} v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 = \frac {\rho}{2} v_2^2 + \rho g h_2 + p_2[/math]

Die drei Terme des Gesetzes von Bernoulli werden oft als Druck bezeichnet, obwohl nur p für einen Druck steht (nur p beschreibt eine isotrope Impulsstromdichte)

• hydrostatische Druck [math]p[/math]: mit dem Manometer messbar
• Staudruck [math]\frac {\rho}{2} v_1^2 [/math]: Dichte der kinetischen Energie
• hydrostatische Druck [math]\frac {\rho}{2} v^2 [/math]: Dichte der potenziellen Energie

Anwendung

Das Gesetz von Bernoulli basiert auf einem Vergleich von Energiestromstärken bzw. Energiestromdichten zwischen verschiedenen Referenzflächen bzw. Bezugspunkten einer Strömung. Dabei geht man wie folgt vor:

1. Abklären, ob die Bedingungen des Gesetzes von Bernoulli erfüllt sind? Liegen alle Bezugspunkte im gleichen Stromfaden oder in der gleichen unverzweigten Rohrströmung? Ausnahme: bei einer Potenzialströmung müssen die Punkte nicht im gleichen Stromfaden liegen.
2. Punkte auswählen und durchnummerieren.
3. Für jeden Punkt alle drei Terme des Gesetzes von Bernoulli formulieren.
4. Die drei Terme des Gesetzes von Bernoulli für zwei Punkte gleich setzen.
5. Irrelevante Terme wegkürzen, eventuell Geschwindigkeiten mit Hilfe der Volumenerhaltung in Beziehung setzten und nach der gesuchten Grösse auflösen.