Widerstand und Prozessleistung

Elektrische Ladung kann praktisch nicht gespeichert werden. Bringt man zum Beispiel 50 nC (Nanocoulomb oder 50 nAs) elektrische Ladung auf eine Metallkugel von 20 cm Durchmesser, steigt deren Potential auf etwa 5000 V an. In der Elektrodynamik erscheint deshalb die Ladungsbilanz meist nur in Form des Knotensatzes (Summe über alle Stromstärken bezüglich eines Verzweigungspunktes gleich Null). Zudem muss man sich nicht um das Vorzeichen kümmern. Da alle Ströme im Kreis herum fliessen, sind Strom und Spannung nur so zu orientieren, dass der Energieumsatz richtig beschrieben wird. Ordnet man Strom und Spannung das entgegen gesetzte Vorzeichen zu, hat das keinen Einfluss auf den Energietransport.

Diese vereinfachte Betrachtungsweise erlaubt eine Analogie zur Hydrodynamik. Alles was Sie dort gelernt haben, kann direkt auf die elektrischen Netzwerklehre übertragen werden. Und das wollen wir jetzt über drei Vorlesungen hinweg tun.

Hydroelektrische Analogie

Vergleich zwischen Wasser- und Stromkreis

Die hydroelektrische Analogie baut auf die Anschaulichkeit der Hydrodynamik, denn Volumen und Druck sind einfacher zu verstehen als Ladung und Potential. Trotz der guten Übereinstimmung zwischen dem Wasser- und dem elektrischen Stromkreis sollten Sie nicht vergessen, dass der elektrische Strom in Drähten nichts mit Bewegung zu tun hat.

Analoge Grössen:

hydraulisch	Zeichen	Einheit	elektrisch	Zeichen	Einheit
Volumen	V	Kubikmeter (m3)	elektrische Ladung	Q	Coulomb (C)
Volumenstrom	IV	m3/s	elektrischer Strom	I	Ampère (A)
Druck	p	Pascal (Pa)	elektrisches Potential	φ	Volt (V = J/C)
Druckdifferenz	Δ p	Pascal (Pa)	Spannung	U	Volt (V = J/C)

Ein elektrischer Strom ist wie der Volumenstrom ein Energieträger, der durch Netzwerke im Kreis herum fliesst. In den einzelnen Knoten werden Ströme zusammengeführt und wieder auf verschieden Zweige verteilt.

Wie beim Zihlkanal, der Verbindung zwischen Neuenburger- und Bielersee, muss in jedem Zweig ein Bezugspfeil (rot) eingeführt werden, der die positive Stromrichtung anzeigt. Fliesst ein Strom gegen den Bezugspfeil, nimmt dessen Stärke einen negativen Wert an. Die Spannung wird ebenfalls mit einem Pfeil (blau) markiert. Der Spannungsffeil zeigt vom hohen zum tiefen Potential. Nimmt z.B. die Spannung einen positiven Wert an, liegt das höhere Potential an der Basis und das tiefere an der Spitze des Pfeils. Auf die Hydrodynamik übertragen zeigt der Druckpfeil vom hohen zum tiefen Druck. Versuchen Sie, diese Analogie voll zu verinnerlichen.

Geht man zu einem bestimmten Zeitpunkt in Gedanken von einem Knoten längs einer Masche im Kreis herum, ist die Summe über alle Potentialdifferenzen (Spannungen) gleich Null. Auch diese Aussage ist vom hydraulischen Stromkreis her gut zu verstehen: in einem Rohrleitungssystem ist längs eines geschlossenen Pfades die Summe über alle Druckdifferenzen zu jedem Zeitpunkt gleich Null.

Die Ladungsbilanz bezüglich eines Knotens und das Verschwinden der Spannung längs eines vollen Umgangs werden in der Elektrodynamik als zwei Gesetze formuliert:

Knotensatz:

[math]\sum_i I_i=0[/math]

Maschensatz:

[math]\sum_i U_i=0[/math]

Widerstand

Metalldrähte und andere passive Zweipole setzen dem elektrischen Strom einen Widerstand entgegen. Ein Widerstand beschreibt das Verhältnis von Antrieb zu Erfolg. In der Hydrodynamik haben wir den Widerstand als Druckdifferenz über dem Leitungsabschnitt dividiert durch die Stärke des durchfliessenden Stromes definiert. Diese Definition hat sich im laminaren Strömungsbereich als brauchbar erwiesen. Bei turbulenter Strömung mussten wir ein anderes Gesetz einführen, weil der Widerstand sonst selber proportional zur Stromstärke angewachsen wäre.

Definition

In der Elektrodynamik ist der Widerstand (R) als Verhältnis von Potentialdifferenz (Spannung U) über dem Zweipol zur Stärke des durchfliessenden Stromes (Stromstärke I) definiert

[math]R=\frac{U}{I}[/math]

Diese Definition, die Sie auswendig wissen sollten, weist dem Widerstand die Einheit Volt durch Ampère zu. Die Einheit des Widerstandes heisst auch Ohm (Ω)

1 Ω = 1 V/A

Ohmsches Gesetz

In metallischen Leitern sind immer genügend Leitungselektronen vorhanden. Dies äussert sich in der Unabhängigkeit des Widerstandes von der Stromstärke. Ist die dissipierte Leistung so gering, dass die Temperatur des Leiters konstant bleibt, lautet das Ohmsche Gesetz

[math]R=\frac{U}{I}=konstant[/math]

Im homogenen elektrischen Feld ist die Feldstärke gleich Spannung dividiert durch die Distanz längs den Feldlinien. Die Stärke eines Stromes wird an jedem Punkt des Raumes mit der vektorvertigen Grösse Stromdichte angegeben. Das Ohmsche Gesetz besagt dann, dass die Feldstärke (E) eine Stromdichte (j) antreibt, wobei der spezifische Widerstand ρ als materialspezifischer Faktor zwischen die beiden Grössen wirkt

[math]\vec E=\varrho \vec j[/math]

Diese zweite, lokale Formulierung des Ohmschen Gesetzes ist viel umfassender als die erste, die nur für konzentrierte Systeme gilt. Nimmt man eine homogene Stromdichte an, wie sie in einem Metalldraht zu finden ist, kann die Feldstärke mit der Länge des Drahtes und die Stromdichte mit dem Querschnitt des Drahtes multipliziert werden

[math]lE=\varrho\frac{l}{A}jA[/math]

Links steht dann wieder die Spannung und ganz rechts die Stromstärke. Folglich ist der Widerstand gleich dem spezifischen Widerstand mal die Drahtlänge durch den Drahtquerschnitt

[math]R=\varrho\frac{l}{A}[/math]

Elektromagnetisches Feld

Elektrisches Feld bei einer Hochspannungsleitung

Magnetfeld bei einer Hochspannungsleitung