Lösungen zu Aviatik 2007/2

1. Die erste Teilaufgabe haben Sie schon als Übungsaufgabe gelöst.
   1. Nach einer gewissen Zeit erreicht die Kugel unter der Wirkung der Luft einen Gleichgewichtszustand (F_G = F_W). Setzt man für die Gewichtskraft Masse mal Gravitationsfeldstärke und für den Luftwiderstand die entsprechende Beziehung ein, erhält man für die Endgeschwindigkeit [math]v=\sqrt{\frac{8mg}{\pi\varrho_L c_W d^2}}[/math] = 21.75 m/s.
   2. Ein ähnliches Modell finden Sie unter hüpfender Tennisball.
   3. Das Produkt aus Geschwindigkeit und Luftwiderstand ergibt die dissipierte Leistung. Eine Integration (Rohr-Topf-System) liefert die dissipierte Energie.
   4. Ein teileslastischer Stoss gegen den Boden ist beim hüpfenden Tennisball modelliert.
2. Die hydraulische Induktivität sorgt dafür, dass der Volumenstrom nicht plötzlich auf den Maximalwert von 0.00014 m³/s ansteigt.
   1. Im ersten Moment ist noch kein Strömungswiderstand vorhanden. Folglich wirkt die Pumpe voll auf die Induktivität. Die Änderungsrate des Volumenstroms entspricht der Steigung der Tangente, die zu Beginn mit 1.5 10^-4 m³/s² am grössten ist. Aus diesem Wert ergibt sich für die hydraulische Induktivität [math]L_V=\frac{\Delta p}{\dot I_V}[/math] = 6.9 10⁷ Pas²/ m³.
   2. Die Leistung ist gleich Druck mal Volumenstromstärke: P = 10⁴ Pa 1.36 ^-4 m³/s = 1.36 W.
   3. Die Energie ist das Zeitintegral über die Leistung [math]W=\int P dt=\Delta p\int I_V dt=\Delta p V_{gefl}[/math] = 6.1 J. Die Druckdifferenz darf vor das Integral gezogen werden, weil sie konstant bleibt. Das geflossene Volumen entspricht der Fläche unter der Volumenstrom-Zeit-Kurve.
   4. Die dissipierte Energie ist gleich der von der Pumpe geförderten minus die in der Induktivität gespeicherten Energie(kinetische Energie) [math]W_{diss}=W-W_L=6.1 J-\frac{L_V}{2} I_V^2[/math] = 5.4 J.
3. Eine ähnliche Aufgabe haben Sie schon unter dem Namen Dreiecksignal gelöst.
   1. Die Energie des Kondensator ist maximal, falls die Ladung bzw. die Spannung maximal ist [math]W=\frac C2U^2[/math] = 0.5 mJ.
   2. Bei einem Kondensator ist die Stromstärke gleich Kapazität mal Änderungsrate der Spannung [math]I=C\dot U[/math] = 0.05 A. Die Änderungsrate der Spannung ist als Steigung dem Spannungs-Zeit-Diagramm zu entnehmen.
   3. Aus dem konstitutiven Gesetz für Induktivität folgt [math]\Delta I=\int \dot I dt=\frac{\int U dt}{L}[/math] = -0.03 A. Das Integral über die Spannung kann direkt der Graphik entnommen werden (Fläche eines kleinen Dreiecks minus Fläche des grossen Dreicks).
   4. Die Stromstärke wird zuerst negativ und ist bei 8 ms wieder gleich Null. Nach weiteren 2 ms erreicht die Stromstärke den Maximalwert von 0.02 A (Fläche des Dreiecks zwischen 8 ms und 10 ms durch die Induktivität)