Lorentz-Transformation

Das Relativitätsprinzip von Albert Einstein verlangt, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen gleich gross ist. Aus diesem Postulat folgt eine Transformationsvorschrift für die Raum-Zeit, welche nach Hendrik Antoon Lorentz benannt worden ist.

Raum-Zeit

Isaac Newton hat Raum und Zeit zu den grundlegendsten Grössen der Natur erklärt, über deren Wesen nicht weiter zu spekulieren ist. In der Vorstellung von Newton bildet der Raum einen dreidimensionalen Kasten, in dem sich die Objekte mit der Zeit bewegen. Diese Vorstellung wird mit dem Relativitätsprinzip hinfällig. Raum und Zeit verschmelzen nun zu einem vierdimensionalen Kontinuum, das je nach Beobachter (Bezugssystem) in einen Raum- und einen Zeitanteil zerlegt werden kann. Die Begriffe gleichzeitig und räumliche Distanz verlieren damit ihre Gültigkeit. Zwei [Ereignisse] (Raum-Zeit-Punkte), die der eine Beobachter als gleichzeitig einstuft, können für einen zweiten nacheinander passiert sein. Die Kausalität muss aber unter allen Umständen gewahrt bleiben.

Sobald Raum und Zeit als Einheit gesehen werden, müssen zeitliche Intervalle und räumliche Distanzen mit der gleichen Einheit gemessen werden. Entweder misst man die Zeit in Metern oder die Länge in Sekunden (in der theoretischen Physik lässt man beide Einheiten ganz weg und setzt die Geschwindigkeit des Lichts gleich eins). Um einen Zeitabschnitt in Metern zu messen, multiplizieren wir ihn mit der Lichtgeschwindigkeit

[math]\Delta T=c\Delta t[/math]

Eine Zeit von einem Meter Länge entspricht damit der Zeitspanne, die das Licht im Vakuum benötigt, um einen Meter zurück zu legen. Unser räumliches Auflösungsvermögen ist demnach viel feiner als das zeitliche, können wir doch mit Hilfe einer Schieblehre eine Länge problemlos auf einen Zehntel Millimeter genau messen, wogegen wir bei etwa 10 Bilder pro Sekunde diese kaum mehr einzeln erkennen können. Die Bilder eines Films folgen sich in einem zeitlichen Abstand von 16'667 Kilometer.

Drehung

Dreht man das Koordinatensystem um die z-Achse, ändern sich die x- und die y-Koordinaten. Die Distanz zwischen zwei Punkten bleibt dagegen erhalten; die Drehung des Koordinatensystems verändert die Länge einer Strecke nicht

[math]s^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2=(\Delta x')^2+(\Delta y')^2[/math]

Die nicht gestrichenen Grössen beschreiben die Komponenten im alten, die gestrichenen im neuen Koordinatensystem. Statt das Koordinatensystem kann auch der Körper gedreht werden. Die Drehung eines Körpers lässt sich mittels einer Drehmatrix beschrieben. Wird der Körper in der x-y-Ebene gedreht, nimmt die Drehmatrix folgende Gestalt an

[math]R=\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}[/math]

Nun kann der Winkel z.B. aus den beiden Komponenten einer ursprünglich parallel zur x-Achse ausgerichteten Strecke berechnet werden (die Stiche zur Kennzeichnung der neuen Koordinaten lassen wir hier kurz weg)

[math]\tan\varphi=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math]

Damit erhält man für die einzelnen Komponenten der Drehmatrix

[math]\sin\varphi=\frac{\tan\varphi}{\sqrt{1+\tan\varphi^2}}=\frac{\frac{\Delta y}{\Delta x}}{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}}[/math]

[math]\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{1+\tan\varphi^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}}[/math]

Die Drehmatrix lässt sich - wenigstens bis zu einer Drehung von gegen π/2 - mittels den neuen Komponenten einer ursprünglich parallel zur x-Achse ausgerichteten Strecke beschreiben.

Eigenzeit

Falls die Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen gleich gross ist, gilt

[math]c=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\Delta x'}{\Delta t'}[/math]

Daraus folgt

[math](c\Delta t)^2-(\Delta x)^2=(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2=0[/math]

Dieser Ausdruck ist gleich Null, falls beide Ereignisse auf dem gleichen Lichtstrahl liegen. Nun verallgemeinern wir auf zwei beliebige Ereignisse

[math](c\Delta t)^2-(\Delta x)^2=(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2=c^2\tau^2[/math]

Die Grösse τ beschreibt die Zeitpanne, die ein Beobachter misst, in dessen Bezugssystem beide Ereignisse am gleichen Ort stattfinden. Deshalb nennt man diese Grösse auch Eigenzeit.

raum-zeitliche "Drehung"

Die Drehung behält die Länge einer beliebigen Strecke bei. Die entsprechende Transformation in der Raum-Zeit, die aus dem Relativitätsprinzip folgt, lässt die Eigenzeit invariant

[math](\Delta T)^2-(\Delta x)^2=(\Delta T')^2-(\Delta x')^2=c^2\tau^2[/math]

Die Definition der Eigenzeit weicht nur im Vorzeichen von Berechnung der Länge einer Strecke ab. Um eine Transformation zu formulieren, welche die Eigenzeit invariant lässt, sind die trigonometrischen Funktionen durch hyperbolsiche zu ersetzen. Zudem entfällt das Minuszeichen

[math]L=\begin{pmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi \\ \sinh\psi & \cosh\psi\end{pmatrix}[/math]

Der Tangens Hyperbolicus des Winkels entspricht einer dimensionslosen Geschwindigkeit V

[math]\tanh\psi=\frac{\Delta x}{\Delta T}=V=\frac vc[/math]

Damit erhält man für die einzelnen Komponenten der "Raum-Zeit-Drehung"

[math]\sinh\psi=\frac{\tanh\psi}{\sqrt{1+\tanh\psi^2}}=\frac{V}{\sqrt{1+V^2}}[/math]

[math]\cosh\psi=\frac{1}{\sqrt{1+\tanh\psi^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+V^2}}[/math]

Die "Raum-Zeit-Drehung" lässt sich so durch die Relativgeschwindigkeit der beiden Inertialsysteme parametrisieren

[math]L=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{1+V^2}}&\frac{V}{\sqrt{1+V^2}}\\ \frac{V}{\sqrt{1+V^2}}& \frac{1}{\sqrt{1+V^2}}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1+V^2}}\begin{pmatrix} 1 & V \\ V & 1 \end{pmatrix}[/math]

Lorentz-Transformation

In Analogie zur Drehung in der Ebene haben wir bis jetzt die aktive Transformation diskutiert. Die passive, bei welcher der Beobachter seinen Standpunkt - oder etwas präziser ausgedrückt - das Koordinatensystem ändert, wird mit der negativen Geschwindigkeit beschrieben

[math]LT=\frac{1}{\sqrt{1+V^2}}\begin{pmatrix} 1 & -V \\ -V & 1 \end{pmatrix}[/math]

Nun setzen wir eine in x-Richtung weisende Strecke und einen Zeitabschnitt in die Lorentz-Transformation ein und erhalten so die Vorschrift

[math]\Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v}{c^2}\Delta x\right)[/math] mit [math]\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/math]

[math]\Delta x'=\gamma\left(\Delta x-v\Delta t\right)[/math]

Die Symmetrie zwischen Länge und Zeitabschnitt ist in den uns vertrauten Einheiten etwas gestört. Deshalb muss bei der Transformation die Geschwindigkeit in einem Fall durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit dividiert werden. Oft nennt man das ursprüngliche System ruhend und das transformierte bewegt.

Gallilei-Transformation

Ist die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Bezugssystemen verglichen mit der Geschwindigkeit des Lichts klein, kann die Lorentz-Transformation zur Galilei-Transformation vereinfacht werden. Dabei entfällt der Faktor γ sowie der Term mit c² im Nenner

[math]\Delta t'=\Delta t[/math]

[math]\Delta x'=\Delta x-v\Delta t[/math]

Unter der Galilei-Transformation bleibt die Gleichzeitigkeit erhalten. Eine Strecke ist für beide Beobachter gleich lang, falls Anfangs- und Endpunkt je gleichzeitig gemessen werden (überlegen Sie sich, wie Sie die Länge eines fahrenden Zuges als Passagier und als Gramper messen würden). Ermittelt ein bewegter Beobachter die "Länge" einer ruhenden Strecke bezüglich eines in seinem System festen Punktes, erhält er einen zu kleinen Wert

[math]\Delta x'=0=\Delta x-v\Delta t[/math]

So kann man einen Lift betreten, die Kabine etwas später durch die gleiche Türe wieder verlassen (Δ x' = 0) und feststellen, dass man sich bezüglich des Gebäudes einige Meter weiter oben oder unten befinden.

Lorentz-Kontraktion

Die Länge eines fahrenden Zuges ist mit Hilfe von zwei Beobachtern zu ermitteln, die ihre Uhren synchronisiert haben und die gleichzeitig die Position des vordersten und hintersten Puffertellers bezüglich eines parallel zu den Schienen ausgerichteten Messbandes festhalten. In unserem Alltag liefert dieses Verfahren den gleichen Wert, wie wenn man das Messband längs eines ruhenden Zuges ausrichtet und dann in aller Ruhe den vorderen und hinteren Wert abliest.

Würde sich das Licht aber nur mit 108 km/h oder 30 m/s bewegen, ergäbe die Messung am fahrenden Zug einen kleineren Wert als am ruhenden. Dieses Phänomen nennt man Lortentz-Kontraktion. Bei einer Längenmessung muss die Zeitspanne im Ruhesystem gleich Null sein, weil man den Ort des hintersten und des vordersten Punktes gleichzeitig messen muss. Nun liefert die Lorentz-Transformation für [math]\Delta t=0[/math] folgende Beziehung

[math]\Delta x'=\gamma\Delta x[/math]

oder umgeformt

[math]\Delta x=\frac{\Delta x'}{\gamma}=\left(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\Delta x'[/math]

Die Länge eines extrem schnell fahrenden Zuges misst man vom Bahndamm aus immer zu kurz. Das heisst aber nicht, dass wir den Zug auch verkürzt wahrnehmen. Umgekehrt stellen zwei Beobachter im Zug fest, dass einen Stück Schiene kürzer ist, als wenn sie dessen Länge vom Bahndamm aus gemessen hätten.

Die Lorentzkontraktion ist ein Phänomen, das immer dann auftaucht, wenn man die Länge eines Objekts von einem relativ dazu bewegten System aus ermittelt. Die Lorentzkontraktion ist symmetrisch, d.h. die Besatzungen zweier sich mit halber Lichtgeschwindigkeit kreuzenden Raumschiffe messen die Länge der andern Raumfähre um 14.4% kürzer als die jeweils mitfliegende. Bei identischen Schiffen können beide Besatzungen mit gutem Recht behaupten, dass die andern halt nur in einer kurzen Kapsel unterwegs sind.

Zeit-Dilatation

Vergleicht ein Passagier in der Einstein-Welt (c = 30 m/s) die Anzeige seiner Uhr mit den Uhren auf den vorbei ziehenden Bahnhöfen, wird er bemerken, dass sein Uhr zu langsam läuft. Dies, obwohl man davon ausgehen kann, dass die Uhren auf den Bahnhöfen untereinander vollkommen synchronisiert sind und heutige Uhren eigentlich immer genau gehen. Für die Strecke zwischen zwei Bahnhöfen gilt

[math]\Delta x=v\Delta t[/math]

Setzt man diese Beziehung in die Zeit-Gleichung der Lorentz-Transformation ein, folgt

[math]\Delta t'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left(\Delta t-\frac{v}{c^2}v\Delta t\right)=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Delta t[/math]

Die zeitliche Distanz von zwei Ereignissen (Durchfahrt des Zuges durch einen der beiden Bahnhöfe) ist vom Zug aus gemessen kleiner, als von den Bahnhöfen aus gesehen. Nun wird auch Stationsvorstand, der die Uhren aller vorbei ziehenden Passagiere kontrolliert, feststellen, dass seine Uhr zu langsam läuft. Auch hier muss vorausgesetzt werden, dass die Passagiere ihre Uhren untereinander synchronisiert haben.

Solange ein Zug im Bahnhof steht, laufen die Uhren auf dem Perron alle gleich schnell wie die der Zugpassagiere. Erst wenn sich der Zug in Bewegung setzt, verschiebt sich die Zeit auf den verschiedenen Sitzplätzen des Zuges gegen die des Bahnhofs. Für den unterschiedlichen Gang der Uhren sind somit die Beschleunigungsphasen von entscheidender Bedeutung. Dies muss auch beim Zwillingsparadoxon berücksichtigt werden. In diesem Paradoxon vergleicht man die durchlebte Zeitspanne von Zwillingen, wobei der eine auf der Erde bleibt und der andere mit fast Lichtgeschwindigkeit durch den Weltraum fliegt. Damit sich die beiden Zwillinge, von denen der Sesshafte mehr Zeit durchlebt hat, wieder treffen können, muss der andere mindestens drei Mal beschleunigt worden sein. In diesen Phasen ist das Koordinatensystem des bewegten Zwillings verändert worden.