Wellenleiter

Der Wellenleiter ist ein System, das eine Welle entlang eines bestimmten Weges führt. Der Wellenleiter kann in guter Näherung als eindimensionaler Körper modelliert werden. Bei einem idealen Wellenleiter vernachlässigt man jegliche Dämpfung.

Theorie des idealen Wellenleiters

Gegeben sei eine beliebige Menge M sowie das zugehörige Potenzial φ. Die Mengenbilanz bezüglich eines Stücks des Wellenleiters lautet dann

[math]I_M(x)-I_M(x+\Delta x)=\dot M=\dot M^*\Delta x[/math]

Der Strom-Bezugspfeil zeige in Richtung der x-Koordinate. Deshalb ist die Stromstärke rechts des ausgewählten Systems mit einem Minuszeichen zu versehen. Eine Grösse pro Länge wird mit einem Stern bezeichnet. Nun dividieren wir die Gleichung durch die Länge des ausgewählten Elements (Δ x) und lassen diese Länge gegen Null streben

[math]-\frac{dI_M}{dx}\equiv -I_M'=\dot M[/math] oder [math]I_M'+\dot M=0[/math]

Eine Ableitung nach dem Ort wird hier - wie allgemein üblich in der Physik - mit einem Apostroph abgekürzt. Die Bilanz bezüglich eines infinitesimal kurzen Leiterstücks besagt somit, dass die Ableitung des Stromes nach dem Ort und die Ableitung der vorhandenen Menge nach der Zeit zusammen immer Null ergeben müssen. Dies ist ein Spezialfall der Kontinuumsgleichung.

Nun definiert man ein kapazitives Gesetz pro Länge

[math]M^*=C^*\varphi[/math]

Das induktive Gesetz formuliert wir vorerst wieder bezüglich eines kurzen Stücks des Wellenleiters

[math]\varphi(x)-\varphi(x+\Delta x)=L\dot I_M[/math]

Dividiert man diese Gleichung durch die Länge des Stücks und lässt diese gegen Null streben, erhält man das induktive Gesetz pro Länge

[math]-\frac{d\varphi}{dx}\equiv -\varphi'=L^*\dot I_M[/math]

Setzt man nun noch das kapazitive Gesetz in die Bilanz ein, bildet diese Gleichung zusammen mit dem induktiven Gesetz eine vollständige Beschreibung der Dynamik des Wellenleiters

[math]I_M'=-C^*\dot\varphi[/math] und [math]\varphi'=-L^*\dot I_M[/math]

Damit haben wir eine schöne Symmetrie zwischen Potenzial und Mengenstrom: die Ableitung der Stromstärke nach dem Ort ist gleich minus die Kapazität pro Länge mal die Änderungsrate des Potenzials und die Ableitung des Potenzials nach dem Ort ist gleich minus Induktivität pro Länge mal die Änderungsrate der Stromstärke.

Leitet man nun die erste Gleichung nach dem Ort und die zweite nach der Zeit ab, können die beiden Gleichungen zur Wellengleichung für die Stromsträrke kombiniert werden

[math]I_M''=C^*L^*\ddot I_M[/math]

Umgekehrt gewinnt man die Wellengleichung für die Potenzialgrösse

[math]\varphi''=C^*L^*\ddot\varphi[/math]

Die Grösse Kapazität pro Länge mal Induktivität pro Länge hat die Einheit Sekunde im Quadrat durch Meter im Quadrat und entspricht dem Reziprokwert des Quadrats der Wellengeschwindigkeit c

[math]\sqrt{C^*L^*}=\frac 1c[/math]

Koaxialkabel

Im runden Koaxialkabel ist die Kapazität pro Länge gleich

[math]C^*=\frac{2\pi\epsilon}{\ln\left(R/r\right)}[/math]

Die Induktivität pro Länge ist bei genügend hoher Frequenz gleich

[math]L^*=\frac{\mu}{2\pi}\ln\left(R/r\right)[/math]

Dies ergibt eine Wellengeschwindigkeit von

[math]c=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}[/math]

Schwingender Stab

In einem schwingenden Stab (Querschnitt A) können sich Longitudinal- oder Transversalwellen fortpflanzen. Orientiert man den Stab in x-Richtung, bildet bei der Longitudinalwelle der x-Impuls und bei der Transversalwelle der y- oder der z-Impuls die bilanzierfähige Grösse. Die zugehörigen Geschwindigkeiten sind dann die entsprechenden Potenziale.

Die Kapazität pro Länge ist für alle drei Impulskomponenten die Masse pro Länge, die als Dichte mal der Querschnitt des Stabs geschrieben werden kann

[math]C^*=A\varrho[/math]

Die Induktivität pro Länge ist gleich dem Reziprokwert der Federkonstante pro Länge. Für die Longitudinalwelle ist dies (E steht für das Elastizitätsmodul)

[math]L^*=\frac{1}{AE}[/math]

Für die Transversal gilt (G ist das Schubmodul)

[math]L^*=\frac{1}{AG}[/math]

Weil das Schubmodul weniger als halb so gross wie das zugehörige Elastizitätsmodul ist, laufen die Transversalwellen immer langsamer als die Longitudinalwellen durch den Stab

[math]c=\sqrt{\frac{E}{\varrho}}[/math] und [math]c=\sqrt{\frac{G}{\varrho}}[/math]

Antriebswelle

In einer Antriebswelle können Torsionswellen auftreten. Der Drehimpuls bildet die bilanzierfähige Menge und die Winkelgeschwindigkeit ist das zugehörige Potenzial. Die Kapazität ist das Massenträgheitsmoment die Induktivität entspricht dem Reziprokwert der Drehfederkonstante. Daraus folgt

[math]c=\sqrt{\frac{D^*}{J^*}}[/math]

Wendet man diese Beziehung auf einen runden Stab (Radius r) an, folgt für die Wellengeschwindigkeit

[math]c=\sqrt{\frac{G\pi r^4/4}{m^*r^2/2}}=\sqrt{\frac{G}{2\varrho}}[/math]