Lösung zu Aviatik 2006/3

1. Das Flugzeug befindet sich in einem Gleichgewichtszustand (der Impuls des Flugzeuges ändert sich nicht). Folglich ist die Summe über alle Kräfte gleich Null.
   1. In vertikaler Richtung kompensiert die Auftriebskraft die Gewichtskraft (der z-Impuls fliesst vom Gravitationsfeld her zu und wird direkt an die Luft abgegeben). Somit gilt [math]F_A = F_G = mg [/math] = 4.41 MN.
   2. In horizontaler Richtung kompensieren die Triebwerke den Luftwiderstand, d.h. die Summe über die Kräfte der vier Triebwerke entspricht dem Luftwiderstand [math]F_W = 4 F_S[/math] = 1.1 MN.
   3. Die Leistung der Luftwiderstandskraft ist entgegengesetzt zur Leistung der Schubkräfte [math]P(F_W) = -4 P(F_S) = -F_W\cdot v[/math] = -275 MW (die Schubkräfte und somit auch die Leistung dürften bei einem Airbus A380 in diesem Betriebszustand um einiges kleiner sein).
2. Diese Aufgabe gilt der Anwendung des Gesetzes von Bernoulli auf Messgeräte bei Flugzeugen.
   1. Das Gesetz von Bernoulli liefert für das Staurohr [math]\Delta p = \frac {\rho}{2}v^2[/math]. Also gilt [math]v = \sqrt{\frac{2 \Delta p}{\rho}}[/math] = 42.4 m/s.
   2. Wendet man das Gesetz von Bernoulli auf das Venturirohr an, erhält man die Beziehung [math]\Delta p = \frac {\rho}{2}(v_2^2 - v_1^2)[/math]. Nun gilt zusätzlich die Volumenerhaltung längs des Stromes [math]I_V = v_1 A_1 = v_2 A_2[/math]. Setzt man die zweite Gleichung in die erste ein und löst dann nach der Druckdifferenz auf, folgt [math]v = \sqrt{\frac{2 \Delta p}{\rho(A_1^2/A_2^2 -1)}}[/math]. Damit die Geschwindigkeit bei dreifacher Druckdifferenz gleich gross ist, muss der Klammerausdruck unter der Wurzel gleich drei sein. Daraus folgt ein Querschnittverhältnis von 2 zu 1.
   3. Die Stärke des Massenstromes ist gleich Dichte mal Volumenstromstärke oder [math]I_m = \rho v_1 A_1[/math] = 83 g/s. Der Eintrittsquerschnitt des Venturirohrs beträgt 19.6 cm².
3. In einer(Momentan-)Bilanz wird die Summe über alle Stromstärken gleich der Änderungsrate des Inhaltes gesetzt. Weil der Impuls leitungsartig über die Oberfläche, quellenartig über das Gravitationsfeld und konvektiv zusammen mit dem Massenstrom ausgetauscht werden kann, sieht die Impulsbilanz etwas komplizierter aus.
   1. Die Impulsbilanz in vertikaler Richtung umfasst den Luftwiderstand, die Gewichtskraft und einen konvektiven Impulsstrom [math]F_W +F_G + v_m I_m = \dot p[/math]. Die Geschwindigkeit des Massenstromes ist gleich Geschwindigkeit der Rakete v minus Ausströmgeschwindigkeit c. Der Impulsinhalt darf als Masse mal Geschwindigkeit geschrieben werden. Somit gilt [math]F_W - mg + (v - c) I_m = \dot m v + m \dot v[/math]. Kombiniert man die Impulsbilanz mit der Massenbilanz [math]I_m = \dot m[/math] folgt [math]F_W - mg - c I_m = m \dot v[/math]. Diese Gleichung sieht aus wie das Aktionsprinzip von Newton, ist aber nicht direkt daraus ableitbar.
   2. Die Impulsänderungsrate ergibt sich direkt aus der Impulsbilanz und beträgt bei einer Massenstromstärke von -2.36 kg/s 17.7 N.
   3. Die Beschleunigung ist hier nicht gleich der Summe über alle Impulsströme dividiert durch die Masse. Die Beschleunigung lässt sich am einfachsten aus der letzten Umformung der Impulsbilanz bestimmen [math]\dot v = -g - \frac {F_W - c I_m}{m}[/math] = 130 m/s². Luftwiderstand und Stärke des Massenstromes nehmen hier negative Werte an.
4. Der Motor pumpt in 50 Minuten 15 kNms Drehimpuls aus dem Raumtransporter in den Satellien.
   1. Das Massenträgheitsmoment (Grundfläche im Flüssigkeitsbild) ist gleich 50 kgm².
   2. Die maximale Prozessleistung des Motors ist hier gleich der maximalen Leistung des Drehmomentes, also gleich Drehmoment mal grösste Winkelgeschwindigkeit und beträgt 1.5 kW.
   3. Der Motor hat den Drehimpuls im Mittel um eine Winkelgeschwindigkeit von 150s^-1 angehoben, wozu er eine Energie von [math]W = L \frac {\omega}{2}[/math] = 2.25 MJ aufwenden musste.
   4. Diese Frage beantwortet man am besten mit Hilfe eines Flüssigkeitsbildes. Der "Schwerpunkt" des Drehimpulses senkt sich von 150s^-1 auf 25s^-1 ab. Folglich nimmt die Rotationsenergie um 1.875 MJ ab. Diese Energie könnte der Satellit im Prinzip nutzen.
5. Vom Flugzeug aus bewegt sich die Propellerspitze gleichmässig auf einem Kreis und der Propeller dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von 83.8 s^-1. Von aussen betrachtet bewegt sich die Propellerspitze auf einer Schraubenlinie.
   1. Die Umfangsgeschwindigkeit ist gleich Radius mal Winkelgeschwindigkeit, also gleich 167 m/s.
   2. Die Umgangsgeschwindigkeit plus die Flugzeuggeschwindigkeit ergeben die Geschwindigkeit der Propellerspitze gegen Luft [math]v = \sqrt{v_F^2 + (\omega r)^2}[/math] = 195 m/s.
   3. Ein sich auf einem Kreis oder einer Schraubenlinie gleichmässig bewegender Punkt erfährt eine reine Normalbeschleunigung [math]a_n = \frac {v^2}{r} = \omega^2 r[/math] = 1.4 10⁴ m/s².
6. Der Wind transportiert Impuls und Energie. Ein Teil dieser beiden Grössen wird vom Windgenerator aufgenommen.
   1. Die Stärke des Energiestromes ist gleich Dichte der kinetischen Energie mal Volumenstromstärke [math]I_W = \frac {\rho}{2}v^2 I_V = \frac {\rho A}{2}v^3[/math] = 1.33 kW.
   2. Der Wind überträgt einen x-Impulsstrom von 70 N an das Windrad. Von dort fliesst dieser Impuls über die Stange direkt an die Erde weg.
   3. Um über einer Winkelgeschwindigkeitsdifferenz von 104.7 s^-1 eine Leistung von 350 W abzugeben, muss ein Drehimpulsstrom der Stärke 3.34 Nm fliessen. Dieser x-Drehimpulsstrom geht danach über die Stange direkt an die Erde weg.
   4. Der in z-Richtung fliessende x-Impulsstrom erzeugt auf einer Länge von 8 m Senken des y-Drehimpulses. Die Senken müssen von der Erde her mit einem y-Drehimpulsstrom der Stärke 560 Nm (8m * 70 N) gespiesen werden.

Aufgaben