Propeller

Ein Propeller (lat. propellere = vorwärts treiben) ist ein Antrieb durch Flügel, die sternförmig um eine Welle herum angeordnet sind. Propeller werden zum Antrieb von Schiffen und Flugzeugen wie auch zur Erzeugung von Luftströmungen eingesetzt. Turbinen oder Windrädern, die Energie aus der umströmenden Luft aufnehmen, werden als Repeller bezeichnet.

Wirkweise

Ein rechtsgängiger Propeller entzieht dem umgebenden Medium Impuls und führt im Drehimpuls zu (falls die entsprechende Achse des globalen Koordinatensystems nach vorn zeigt). Die Zufuhr von Impuls (Impulsübertragung von der Luft an den Propeller), die Schubkraft, ist erwünscht, die Abfuhr von Drehimpuls ist dagegen ein unerwünschter Nebeneffekt des Propellers, der sich aus dessen Wirkprinzip ergibt.

Rein phänomenologisch lassen sich die Impulsstromstärke, die Schubkraft F, und die Drehimpulsstromstärke, das Drehmoment M, mit zwei dimensionslosen Faktoren, dem Schubbeiwert c_F und dem Drehmomentenbeiwert c_M in Funktion der ebenfalls dimensionalen Fortschrittszahl J beschreiben

[math]c_F=\frac{F}{\varrho f^2 d^4}[/math]

[math]c_M=\frac{M}{\varrho f^2 d^5}[/math]

[math]J=\frac{v}{\pi fd}[/math]

d steht für den Durchmesser des Propellers, f ist die Frequenz.

einfaches Modell

William Froude (1810-1879) hat ein einfaches Modell entwickelt, um die Effizienz eines Propellers abzuschätzen. Dabei machte er folgende Vereinfachungen

Der Propeller wird als sehr dünne Scheibe (Fläche A) modelliert, die den Druck in der Strömung um [math]\Delta p[/math] vergrössert. Die Scheibe hat für die durchströmende Luft keinen Strömungswiderstand.
Die Strömung ist stationär (Änderungsraten im ausgewählten System gleich Null) sowie reibungsfrei (keine Entropieproduktion. Zudem verhält sich das Fluid inkompressibel (Dichte bleibt konstant).
Der Druck ist weit vor und weit hinter dem Propeller gleich dem Umgebungsdruck.
Weit vor dem Propeller strömt die Luft mit der Geschwindigkeit des Flugzeuges (v). Weit hinter dem Propeller ist die Luft entsprechend schneller (Geschwindigkeit v_s)

Nun grenzen wir ein System ab, das den Teil der Luft erfasst, die durch den Propeller strömt. Das System reicht von weit vor dem Propeller (Gebiet 1) bis weit nach hinten (Gebiet 2). Ausserhalb dieser Gebiete wird die Luft durch den Propeller nicht beeinflusst. Das System entspricht damit einem sich verjüngenden Rohr, dessen Querschnitt weit vorne grösser und weit hinten kleiner als der des Propellers ist. Im gewählten Bezugssystem sei der Propeller relativ zu seiner Längsachse in Ruhe und die positive Richtung zeigt nach hinten (in Strömungsrichtung).

Für das gewählte System lassen sich mindestens drei Bilanzgleichungen für die Stromstärken bezüglich des Systems aufstellen (die rechte Seite ist Null, weil die Strömung stationär ist)

Volumenbilanz: [math]I_{V1}+I_{V2}=0[/math]
Impulsbilanz: [math]I_{p1}+I_{p2}-F=0[/math]
Energiebilanz: [math]I_{W1}+I_{W2}+P=0[/math]

mit

Stärke des konvektiven Impulsstromes: [math]I_p=vI_m=v\varrho I_V=v\varrho Av=\varrho Av^2[/math]
Propellerkraft (leitungsartiger Impulsstrom): [math]F=\Delta pA[/math]
Stromstärke der mitgeführten kinetischen Energie: [math]I_W=\frac{\varrho}{2}v^2I_V[/math]
Prozessleistung: [math]P=\Delta pI_V[/math]

Setzt man die Volumenbilanz zusammen mit den andern Beziehungen in die beiden verbleibenden Bilanzgleichungen ein, erhält man

Impulsbilanz: [math]\varrho(v-v_s)I_V+F=0[/math] oder [math]\varrho(v-v_s)v_p+\Delta p=0[/math]

Energiebilanz: [math]\left(\frac{\varrho}{2}\left(v^2-v_s^2\right)+\Delta p\right)I_V=0[/math]

[math]v_p[/math] steht für die Strömungsgeschwindigkeit relativ zum Propeller. Löst man die Impulsbilanz nach der vom Propeller aufgebauten Druckdifferenz auf und setzt diesen Wert in die Energiebilanz ein, erhält man die Aussage, wonach die Strömungsgeschwindigkeit beim Propeller gleich dem arithmetischen Mittel zwischen Anströmung weit vorne (far upstream v) und Abströmung weit hinten (far downstream [math]v_s[/math]) weit hinten ist

[math]v_p=\frac{v-v_s}{2}[/math]

Wirkungsgrad

Man unterscheidet bei Triebwerken zwischen dem inneren oder thermodynamischen ([math]\eta_1[/math]) und dem äusseren Wirkungsgrad ([math]\eta_2[/math]). Beim thermodynamischen Wirkungsgrad wird die mechanisch abgegebene mit der thermisch freigesetzten Energie (Reaktionsenthalpie) verglichen. Beim äusseren Wirkungsgrad vergleicht man die Leistung der Antriebskraft auf das Flugzeug im Bezugssystem Luft mit der vom Antriebssystem abgegebenen, mechanischen Leistung. Der äussere Wirkungsgrad ist also gleich dem Verhältnis zwischen dem zugeordneten Energiestrom und der Prozessleistung

[math]\eta_2=\frac{Fv}{P}[/math]

Im einfachen Modell von Froude ergibt dies

[math]\eta_2=\frac{Fv}{\Delta p I_V}=\frac{\Delta pAv}{\Delta p Av_p}=\frac{v}{v_p}=\frac{2v}{v+v_s}[/math]

Definiert man nun noch eine Verhältniszahl a, welche den relativen Zuwachs der Geschwindigkeit von der Anströmung (weit vorne) bis zum Propeller beschreibt

[math]v_p=v(1+a)[/math]

erhält man für den äusseren Wirkungsgrad

[math]\eta_2=\frac{1}{1+a}[/math]

Als Konsequenz aus dieser Formel sollte ein Propeller möglichst viel Luft um ganz wenig beschleunigen. Die gleiche Aussage gilt auch für Strahltriebwerke. Nimmt man ein einzelnes Luftpaket und stellt dieses zusammen mit dem Flugzeug im Flüssigkeitsbild dar, ist diese Aussage unmittelbar einleuchtend.