Lösung zu Langes Rohr

In einem ersten Schritt muss untersucht werden, ob die Strömung laminar oder turbulent ist. Dazu berechnen wir den kritischen Volumenstrom:

[math]I_{V_{krit}}=\frac{R_V}{k}=\frac{\frac {128 \eta l}{\pi d^4}}{\lambda \frac {8 \varrho l}{\pi^2d^5}}=\frac{16\pi\eta d} {\lambda\varrho} = \frac{16\pi * 0.07 Pas * 0.026 m} {0.02 * 850 kg/m^3} = [/math] 5.38 l/s = 323 l/min

Dieser Wert, der mit λ = 0.02 gerechnet worden ist, liegt deutlich höher als die gegebene Volumenstromstärke von 75 l/min = 1.25 l/s. Folglich ist der Volumenstrom laminar und der Widerstand beträgt

[math]R_V=\frac{128 \eta l}{\pi d^4} = \frac{128 * 0.07 Pas * 15 m}{\pi (0.026 m)^4}[/math] = 9.36 10⁷ Pas/m³

1. Im Rohr laufen drei Prozesse ab, ein hydraulischer Prozess treibt einen gravitativen und einen dissipativen (thermischen) Prozess an. Dabei ist die dissipative Prozessleistung gleich gross wie das Podukt aus

• Gravitative Druckdifferenz im Gravitationsprozess: Δp_G = ρ g Δ h = 850 kg/m³ * 9.81 N/kg * 3.5 m = 0.292 bar

• Resistive Druckdifferenz im dissipativen Prozess: Δp_R = R_V1 I_V = 9.36 10⁷ Pas/m³ * 1.25 l/s = 1.17 bar

• Totale Druckdifferenz im hydraulischen Prozess: Δp_hyd = Δ p_G + Δ p _R = 0.292 bar + 1.17 bar = 1.46 bar

2. Leistung des gravitativen und des hydraulischen Prozesses

• P_G = Δφ_G I_m = g Δh ρ I_V = 9.81 N/kg * 3.5 m * 850 kg/m³ * 1.25 l/s = 36.5 W

• P_diss = Δp_R I_V = R_V1 I_V² = 9.36 10⁷ Pas/m³ * (1.25 l/s)² = 146 W (diese Prozessleistung wird dissipiert, d.h. das Öl heizt sich mit dieser Zuwachsrate an inneren Energie auf)

• P_hyd = P_G + P_diss = 182 W

3. Der Widerstand des 2. Rohres ist umgekehrt proportional zur 4. Potenz des Durchmessers; für parallele Widerstände werden ihre Kehrwerte addiert

• R_V2 = (d₁ / d₂)⁴ * R_V1 = (0.026 m / 0.019 m)⁴ * 9.36 10⁷ Pas/m³ = 3.28 10⁸ Pas/m³

• R_{V tot} = 1 / ( 1/R_V1 + 1/R_V2 ) = 7.28 10⁷ Pas/m³

• I_{V tot} = Δp_R / R_{V tot} = 1.61 l/s = 96.4 l/min

Aufgabe