Kapazitives Gesetz
Begriff
Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder Primärgrösse mit dem zugehörigen Potenzial. Bei jedem Speicher ist das Potenzial ist eine Funktion der Menge: sobald man den Inhalt eines Systems kennt, kann das zugehörige Potenzial berechnet werden.
Beispiel: Der Druck in der Zuleitung zu einem Hydraulikspeicher(Blasenspeicher, Federspeicher oder Gefäss) hängt direkt vom Füllzustand des Speichers ab.
Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige Kapazität ist dann eine Konstante. Die Kapazität kann entweder absolut oder differenziell definiert werden
[math]C_M = \frac {M}{\varphi}[/math] oder [math]C_M = \frac {\Delta M}{\Delta \varphi}[/math]
Beispiel: Der Druck am Boden eines zylinderförmigen Gefässes ist proportional zur Füllhöhe. Setzt man das hydrostatische Gesetzt in die Definition für die Kapazität ein, erhält man
[math]C_V = \frac {A \Delta h}{\rho g \Delta h} = \frac {A}{\rho g}[/math]
Der Begriff Kapazität kann auch verwendet werden, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst. Dann ist die Kapazität eine Funktion der Menge oder des Potenzials
[math]C(M) = \frac {dM}{d\varphi}[/math] oder [math]C(\varphi) = \frac {dM}{d\varphi}[/math]
Die Menge berechnet sich dann durch eine Integration über alle Zwischenzustände (Füllzustände):
[math]M_{Speicher} = \int C(\varphi)d\varphi[/math]
Beispiel: Der Inhalt eines Gefässes kann berechnet werden, sobald der Querschnitt in Funktion der Höhe bekannt ist
[math]V_{Speicher} = \int C_V(p)dp = \int \frac{A}{\rho g} \rho g dh = \int A dh[/math]
In diesem einfachen Beispiel kürzen sich die Konstanten Graviationsfeldstärke g und Dichte ρ weg.
Beispiele
| Gebiet | Element | Kapazität | Einheit | Bemerkung |
|---|---|---|---|---|
| Hydrodynamik | zylindrisches Gefäss | A/(ρg) | m3/Pa = m4s2/kg | A(h) für beliebige Gefässe |
| Hydrodynamik | Federspeicher | A2/D | m3/Pa = m4s2/kg | D Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante |
| Elektrodynamik | Plattenkondensator | ε0A/d | Farad (F) | d Plattenabstand |
| Translationsmechanik | starrer Körper | träge Masse m | Kilogramm (kg) | alle drei Komponenten |
| Rotationsmechanik | starrer Körper | Massenträgheit J | kg m2 | symmetrischer Tensor |
| Thermodynamik | homogener Stoff | mcS | J/K2 | cS=cW/T |
Energie
Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über die Energiebilanz, den zugeordneten Energiestrom, die Mengenbilanz und das Kapazitivgesetz:
dW/dt = ∑i IWi = ∑i (φM IMi)= φM ∑i IMi = φM dM/dt = CM(φM) φM dφM/dt
Multipliziert man die Änderungsraten mit dem Zeitschritt dt und summiert (integriert) über alle Zwischenzustände, folgt:
ΔW = ∫ dW = ∫ φM dM = ∫ CM(φM) φM dφM
Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral einfach ausgewertet werden:
ΔW = ∫ φM dM = ∫ CM φM dφM = 1/2 CM [(φM nachher)2 - (φM vorher)2]
Ist der Speicher zu Beginn leer, gilt:
W = 1/2 CM (φM)2