Kapazitives Gesetz

Begriff

Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder Primärgrösse mit dem zugehörigen Potenzial. Bei jedem Speicher ist das Potenzial eine Funktion der Menge: sobald man zu einem bestimmten Zeitpunkt den Inhalt eines Systems kennt, kann das zugehörige Potenzial berechnet werden.

• Beispiel: Der Druck in der Zuleitung zu einem Hydraulikspeicher (Blasenspeicher, Federspeicher oder Gefäss) hängt direkt vom Füllzustand des Speichers ab.

Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige Kapazität ist dann eine Konstante. Die Kapazität kann entweder absolut oder relativ definiert werden

[math]C_M = \frac {M}{\varphi}[/math] oder [math]C_M = \frac {\Delta M}{\Delta \varphi}[/math]

• Beispiel: Der Druck am Boden eines zylinderförmigen Gefässes ist proportional zur Füllhöhe. Setzt man das hydrostatische Gesetzt in die Definition für die Kapazität ein, erhält man [math]C_V = \frac {A \Delta h}{\rho g \Delta h} = \frac {A}{\rho g}[/math]

Der Begriff Kapazität ist auch anwendbar, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst, wenn die Kapazität nicht konstant ist. In diesem Fall ist die Kapazität eine Funktion des Potenzials

[math]C(\varphi) = \frac {dM(\varphi)}{d\varphi}[/math]

Die Menge berechnet sich dann durch eine Integration über alle Zwischenzustände (Füllzustände):

[math]M_{Speicher} = \int dM = \int C(\varphi)d\varphi[/math]

• Beispiel: Der Inhalt eines Gefässes kann berechnet werden, sobald der Querschnitt in Funktion der Höhe bekannt ist [math]V_{Speicher} = \int C_V(p)dp = \int \frac{A(h)}{\rho g} \rho g dh = \int A(h) dh[/math]

In diesem einfachen Beispiel kürzen sich die Konstanten Graviationsfeldstärke g und Dichte ρ weg.

Beispiele

Gebiet	Element	Kapazität	Einheit	Bemerkung
Hydrodynamik	zylindrisches Gefäss	A/(ρg)	m3/Pa = m4s2/kg	A(h) für beliebige Gefässe
Hydrodynamik	Federspeicher	A2/D	m3/Pa = m4s2/kg	D Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante
Elektrodynamik	Plattenkondensator	ε0A/d	Farad (F)	d Plattenabstand
Translationsmechanik	starrer Körper	träge Masse m	Kilogramm (kg)	alle drei Komponenten
Rotationsmechanik	starrer Körper	Massenträgheit J	kg m2	symmetrischer Tensor
Thermodynamik	homogener Stoff	mcS	J/K2	spezifische Entropiekapazität cS=cW/T

Energie

Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über den zugeordneten Energiestrom und die Mengenbilanz. Die Änderungsrate der Energie kann durch das Potenzial und die Änderungsrate der Menge ausgedrückt werden

[math]\dot W = \sum_i I_{W_i} = \sum_i {I_{M_i} \varphi_{M_i}= \left (\sum_i {I_{M_i} \right ) \varphi_M = \dot M \varphi_M[/math]

Multipliziert man die Änderungsraten mit dem Zeitschritt dt und integriert (summiert) über alle Zwischenzustände, folgt:

[math]\Delta W = \int \dot M \varphi_M dt = \int \varphi_M \dot M dt = \int \varphi_M dM[/math]

Die Energie eines homogenen Speichers entspricht somit der Fläche unter der Potenzial-Mengen-Kurve. Ersetzt man den differenziellen Mengenzuwachs durch das Kapazitivgesetzt, kann über das Potenzial integriert werden

[math]\Delta W = \int \varphi_M dM = \int \varphi_M C_M(\varphi)d \varphi[/math]

Bei anfänglich leerem Speicher und konstanter Kapazität wächst die Energie quadratisch mit der Menge

[math]W_{Speicher} = \frac {1}{2} C_M \varphi_M^2[/math]

Beispiele

Gebiet	Element	Kapazität	Energie	Bemerkung
Hydrodynamik	Federspeicher	CV = A2/D	[math]\frac {1}{2}C_V(p^2 - p_0^2)[/math]	p0: Druck bei leerem Speicher
Elektrodynamik	Kondensator	Kapazität C	[math]\frac {1}{2}CU^2[/math]	falls C unabhängig von U
Translationsmechanik	starrer Körper	träge Masse m	[math]\frac {1}{2}m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)[/math]	falls v << Lichtgeschwindigkeit
Rotationsmechanik	starrer Körper	Massenträgheit J	[math]\frac {1}{2}m\omega^2[/math]	nur für Rotation um Hauptachse
Thermodynamik	homogener Stoff	mcS	[math]\Delta S = \int m c_S(T) dT[/math]	cS hängt von T ab