Wärmetransport

Wärme kann wie der Impuls auf drei Arten transportiert werden

• leitungsartig durch die Materie hindurch
• konvektiv zusammen mit der Materie
• strahlungsartig durch das elektromagnetische Feld

Die Zuordnung, wonach die absolute Temperatur mal die Stärke des Entropiestromes gleich der Stärke des zugeordneten Energiestroms ist, gilt nur für den leitungsartigen Wärmestrom. Wir werden uns in dieser Vorlesung nur mit der Energiebilanz beschäftigen, weil bei allen drei Transporten Entropie produziert wird.

Wärmeleitung

Geht man bei der Wärmeleitung von der Energie als Bilanzgrösse aus, darf dieser Prozess mit einer Art Ohmschen Gesetz beschrieben werden. Analog zu U = R I gilt dann

[math]\Delta T=R_W I_W[/math]

Statt mit einem thermischen Widerstand R_W kann das Verhalten eines Wärmeleiters auch reziprok mit Hilfe des Leitwerts G_W definiert werden.

[math]I_W=G_W\Delta T[/math]

Der thermische Widerstand wird in K/W und der thermische Leitwert wie die Entropie in W/K gemessen. Den thermischen Leitwert könnte man auch in W/°C angeben, die Entropie aber natürlich nicht.

Analog zum elektrischen Widerstand oder Leitwert lässt sich der thermische Widerstand bzw. Leitwert eines prismatischen Körpers (Querschnitt A, Dicke d) mit einer einfachen Formel beschreiben

[math]G_W=\lambda\frac{A}{d}[/math]

Die Grösse λ heisst Wärmeleitwert und ist materialspezifisch und zudem von der Temperatur abhängig. Der Leitwert von komplexeren Geometrien wie die eines kompakten Fensterrahmens lässt sich mit Hilfe eines FE-Programms (Programm, das mit der Methode der finiten Elemente arbeitet) ermittelen.

Im wärmeleitenden Prisma fällt der Entropiestrom thermisch hinunter und setzt dabei eine Prozessleistung frei. Die mit dieser Prozessleistung produzierte Entropie vergrössert den ursprünglichen Entropiestrom. Um die Produktionsrate zu berechnen geht man von der Entropiebilanz bei einem stationärem Strom aus und setzt dann die Energiezuordnung ein

[math]\Pi_S=I_{S2}-I_{S1}=I_W\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)=I_W\frac{T_1-T_2}{T_1 T_2}=G_W\frac{(\Delta T)^2}{T_1 T_2}[/math]

Zum gleichen Ergebnis gelangt man auch über die bei dem thermischen Prozess dissipierte Leistung

[math]\Pi_S=\frac{P_{diss}}{T_2}=\frac{I_{S1}(T_1-T_2)}{T_2}=I_W\frac{T_1-T_2}{T_1 T_2}[/math]

In der letzten Umformung ist der ganze Ausdruck mit der Eingangstemperatur multipliziert worden. Diese Temperatur mal die Stärke des dort zuströmenden Entropiestromes ergibt den zugeordneten Energiestrom, der bei stationärer Prozessführung längs der Wärmeleitung erhalten bleibt.

Konvektion

Die Konvektion der Luft in der Atmosphäre bestimmt das Wetter und die Konvektion des Wassers in den Weltmeeren hat einen grossen Einfluss auf das Klima. Die Anströmung bei den Flugzeugen und die Strömung in einem Venturirohr sind weitere konvektive Vorgänge, die es zu untersuchen gäbe. Der konvektive Transport ist aber ein äusserst komplexes Phänomen, handelt es sich doch dabei um bewegte Materie, die Energie, Entropie und Impuls speichert und längs des Transportweges austauscht. Im Sinne eines Kompromisses wollen wir hier nur kurz diskutieren, wie der Energietransport bei einer stationären Strömung beschrieben wird.

Ein Fluid kann die Energie auf vier Arten transportieren, als hydraulisch zugeordnete Energie, als kinetische, als Gravitations- oder als als innere Energie. Jedem Volumenstrom dürfen folglich vier Energieterme zugeordnet werden

[math]I_W=\left(p+\frac{\rho}{2}v^2+\varrho g z+\rho_W\right)I_V[/math]

Entsprechend gilt für den Massenstrom

[math]I_W=\left(\frac{p}{\varrho}+\frac{v^2}{2}+ g z+w\right)I_m[/math]

Die Dichte der inneren Energie wird mit ρ_W und die spezifische innere Energie mit w bezeichnet (eine spezifische Grösse wird möglichst mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet). Für die Höhe wird hier z geschrieben, damit keine Verwechslung mit der spezifischen Enthalpie h möglich ist.

Nun ist der Reziprokwert der Dichte das spezifische Volumen. Folglich lassen sich der erste und der letzte Term zur spezifischen Enthalpie zusammen fassen

[math]I_W=\left(\frac{v^2}{2}+ g z+h\right)I_m=\left(\frac{v^2}{2}+ g z+c_p(T-T_0)\right)I_m[/math]

In der letzten Umformung ist die spezifische Enthalpie mit Hilfe des kapazitiven Gesetzes ersetzt worden. Die Enthalpie ist hier bei der Temperatur T₀ gleich Null gesetzt worden.