Basismodell

Die Physik der dynamischen Systeme ruht auf einem dreiteiligen Fundament. Die drei Teile sind die Bilanzgleichungen, die konstitutiven Gesetze und die einheitlichen Rolle der Energie. Nachfolgend wird gezeigt, wie sich die einzelnen Zweige der Physik harmonisch in ein einheitliches Schema einordnen lassen. Dieses Schema lässt sich mit Hilfe der systemdynamischen Modellierung direkt in eine Computersimulation umwandeln.

Hydrodynamik

Die Volumenbilanz bezüglich eines Systems (Summe über alle Volumenstromstärke ist gleich Änderungsrate des Volumens) bildet den eigentlichen Kern des Modells eines hydraulischen Systems. Das in einem solchen System gespeicherte Volumen legt über das zugehörige kapazitive Gesetz den Druck fest. Die kapazitiven Gesetze können verschiedene Formen annehmen

• zylinderförmiges Gefäss: [math]p=\varrho g h=p_L+\varrho g\frac V A[/math]
• Federspeicher: [math]p=p_0+\frac{\Delta V}{C_V}[/math]
• Blasenspeicher: [math]p=p_0\frac{V_0}{V_0-V}[/math]

Hier ist mit Potenzialgrössse p der Absolutdruck gemeint.

Die Zu- und Abflüsse können aufgeprägt sein, also nicht vom Zustand (Druck und Volumen) des Systems abhängen, oder über eine Rückkopplung an den Systemzustand gebunden sein. Im zweiten Fall kann die Stärke des Volumenstromes

• linear [math]\Delta p=R_V I_V[/math] oder
• quadratisch [math]\Delta p=kI_V^2[/math]

von der Differenz zwischen dem Aussen- und dem Systemdruck abhängen.

Die Energiebilanz bildet das Verhalten des dynamischen Systems auf einer zweiten Ebene nach. Multipliziert man die Volumenströme mit der Potenzialgrösse Druck, erhält man die zugeordneten Energieströme

[math]I_W=pI_V[/math]

Die Summe über alle Energieströme ist dann gleich der Änderungsrate der Energie. Das Bild zeigt ein System mit einem aufgeprägten Zufluss und einem Abfluss, der linear von der Differenz zwischen Innen- und Aussendruck abhängt. Die Energiebilanz führt den Energiegehalt des Systems buchhalterisch nach. Man beachte, dass die Bezugspfeile in der Volumen- und der Energiebilanz gleich orientiert sind.

Elektrodynamik

Elektrische Netzwerke eignen sich nur beschränkt für eine systemdynamische Modellierung. Der Grund dafür ist bei den Kondensatoren zu suchen. Diese Elemente verhalten sich wie Stromglieder, obwohl sie als Ladungspeicher gelten. Die totale Ladung der Kondensatoren bleibt immer gleich Null, weil seine beiden Teile entgegengesetzt gleich aufgeladen werden. Mit Kondensatorladung beschreibt man nicht die totale Ladung sondern nur die Ladung auf einem der beiden Teile dieses elektrischen Speicherelements. Dafür lassen sich alle drei linearen Elemente der elektrischen Netzwerke allein mit Strom I und Spannung U beschreiben

• kapazitives Gesetz: [math]C\dot U=I[/math]
• resistives Gesetz: [math]U=RI[/math]
• induktives Gesetz: [math]U=L\dot I[/math]

Verbindet man den einen Anschluss des Kondensators mit der elektrischen Erde, kann der mit dem andern Anschluss verbundene Teil als echter Speicher angesehen werden. Das Bild zeigt das systemdynamische Modell eines Kondensators, der über einen Widerstand entladen wird und der gleichzeitig über einen zweiten Widerstand mit einer Wechselspannungsquelle verbunden ist. Auch hier kann die Energiebilanz als zweite Ebene darauf gesetzt werden. Der zugeordnete Energiestrom ist dann gleich Potenzial (Spannung gegen Erde) mal die Stärke des elektrischen Stromes

[math]I_W=\varphi I=UI[/math]

Wie in der Hydrodynamik müssen auch hier die Bezugspfeile der Energiebilanz mit den Pfeilen der Ladungsbilanz übereinstimmen.