Nagel einschlagen

Der Nagel ist der wichtigste Helfer bei vielen Arbeiten mit Holz. Zimmerleute und Dachdecker nageln praktisch rund um die Uhr. Echte Nagelkünstler sind allerdings die Einschaler, also Tischler, die Holzverschalungen für den Betonbau herstellen. Diese beherrschen die Kunst, Nägel bewusst krumm einzuschlagen, um extrem belast- und fast unlösbare Nagelverbindungen herzustellen, wie niemand sonst. Doch wie steht es mit der Physik des Nagelns? Lässt sich das Problem einfach modellieren und simulieren?

Problemstellung

Ein Hammer (Masse m₁ = 300 g) trifft mit der Geschwindigkeit v₁ auf einen Nagel (Durchmesser 2. 8 mm, Länge 70 mm, Masse m₂ = 3.5 g). Der Nagel besteht aus Eisendraht (Baustahl) der Dichte ρ = 7850 kg/m³ und weist ein Elastizitätsmodul E = 2.1*10¹¹ Pa auf. Sobald der Nagel ins Holz eindringt, wirkt dieses mit einer konstanten Kraft dagegen.

Dieser Vorgang, das Einschlagen eines Nagels, soll mittels eines Simulationsmodells möglichst realistisch nachgebildet werden.

Zwei Körper

Ein einfaches Modell zu diesem Problem besteht aus zwei Körpern, einer Feder und einem parallel geschalteten Dämpfer zwischen den Körpern sowie einer konstant gehaltenen Reibkraft. Nimmt man an, dass die Feder aus dem 50 mm langen Teil des Nagels besteht, der aus dem Holz ragt, erhält man eine Federkonstante von

[math]D=\frac{AE}{L}[/math] = 2.6*10⁷ N/m

Die Schwingungsdauer der beiden Körper beträgt dann unter Vernachlässigung der Reibung

[math]T=2\pi\sqrt{\frac{m_1m_2}{D(m_1+m_2)}}[/math] = 7.27*10^-5 s

Wäre der Schlag vom Hammer auf den Nagel überkritisch gedämpft, würde der Nagel fast die Geschwindigkeit des Hammers erreichen

[math]v_e=\frac{m_1}{m_1+m_2}v_1[/math]

und es würden nur etwas mehr als 1% der kinetischen Energie dissipiert

[math]W_{diss}=\Delta p \Delta v_{mittel}=(v_1-v_e)m_1\frac{v_1}{2}=\frac{m_2}{m_1m_2}W_{kin}[/math] = 0.0115 W_kin

Die kritische Dämpfung kann mit einer Dämpferkonstante von

[math]k=2\sqrt{\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}D}[/math] = 600 Ns/m

erzielt werden. Zur Abschätzung der Reibkraft vernachlässigen wir die Dissipation zwischen Hammer und Nagel. Die Reibarbeit ist dann gleich der kinetischen Energie des Hammers. Damit ergibt sich die Reibkraft aus der Eindringtiefe s

[math]F_R=\frac{m_1v_1^2}{2s}[/math]