Arbeit, kinetische und potentielle Energie

Arbeit, kinetische und potentielle Energie sind ziemlich populär. Entsprechend verschieden werden diese Begriffe verwendet. In der Physik ist Arbeit nur im Zusammenhang mit einem mechanischen Vorgang erklärbar. Der Begriff Arbeit macht nur als Arbeit einer Kraft oder Arbeit eines Drehmoments Sinn, d.h. Arbeit ist die Energie, die ein Körper zusammen mit dem Impuls und dem Drehimpuls austauscht.

Unter kinetischer Energie versteht man die Energie, die ein Körper zusammen mit dem Impuls speichert. Die kinetische Energie wird freigesetzt, sobald ein Körper in den Zustand der Ruhe überführt wird, d.h. bei jedem Bremsvorgang fällt der Impuls geschwindigkeitsmässig hinunter und setzt Energie zwischen Körper und Bezugssystem frei. Die potenzielle Energie wird im elektromagnetischen oder im Gravitationsfeld gespeichert. Weil man der Gewichtskraft bzw. der elektrischen Kraft direkt keine Arbeit zuschreibt, bucht man die zugehörige Energie als potenzielle auf das Konto des Körpers.

Die kinetische Energie hängt von der Bewegung des Bezugssystems ab. So kann die Masse oder Energie eines Protons, das aus den Weiten des Alls mit beinahe Lichtgeschwindigkeit in die Atmosphäre eintritt, von der Erde aus gesehen mehr als das Tausendfache der Ruhemasse bzw. Ruheenergie betragen. Von einem mit fliegenden Raumschiff aus würde man dagegen nur die Ruhemasse messen. Ähnlich verhält es sich mit der potenziellen Energie. Der absolute Wert der potenziellen Energie wird erst mit der Wahl des Potenzialnullpunktes festgesetzt. Weil sowohl die kinetische als auch die potentielle Energie vom Beobachter und seiner Wahl abhängen, nennt man diese beiden Grössen äussere Energieformen. Die Energie, die dem Körper per se zugeschrieben werden kann, heisst innere Energie.

Lernziele

Sie lernen in dieser Vorlesung

wie man die Arbeit einer Kraft berechnet
dass die Arbeit einer Kraft bei linearer Bewegung gleich der Fläche unter der Kurve im Kraft-Weg-Diagramm ist
dass die potentielle Energie immer als Masse mal Gravitationspotenzial bzw. als Ladung mal elektrisches Potenzial geschrieben werden kann
wie man das Gravitationspotenzial eines Himmelskörpers berechnet
wie man bei Vernachlässigung der Reibung aus der Höhe die Geschwindigkeit eines bahngebundenen oder frei fallenden Körpers berechnet
wie man bei gegebener Gesamtenergie aus der Position die Geschwindigkeit eines Satelliten berechnet
wie gross die Fluchtgeschwindigkeit ist

Arbeit einer Kraft

Eine Kraft steht für die Stärke eines Impulsstromes bezüglich eines Körpers. Nun kann man jedem Impulsstrom einen Energiestrom zuordnen. Nimmt man alle drei Komponenten des Impulses, lautet die Zuordnung

[math]I_W=v_x I_{px}+v_y I_{py}+v_z I_{pz}[/math]

Der gesamte Ausdruck rechts des Gleichheitszeichens bildet ein Skalarprodukt. Der Wert des zugeordneten Energiestromes hängt folglich nicht von der Wahl des Koordinatensystems ab, obwohl die Aufteilung von Impuls und Geschwindigkeit bezüglich eines Koordinatensystems (Weltsystem) mit einer gewissen Willkür behaftet ist. Schreibt man die Impulsstromstärke bezüglich des Körpers als Kraftvektor, wird diese Invarianz noch besser sichtbar. Der zugeordnete Energiestrom geht dann über in die Leistung dieser Kraft

[math]P(\vec F)=v_x F_x+v_y F_y+v_z F_z=\vec v\cdot\vec F[/math]

Die Arbeit einer Kraft berechnet sich durch Integration über die Zeit

[math]W(\vec F)=\int \vec v\cdot\vec F dt= \int \vec F\cdot\vec {ds}[/math]

Mit der letzten Umformung fällt die Zeit als Parameter heraus und man erhält eine rein statische Beschreibung. Die Arbeit einer Kraft ist gleich dem Wegintegral der Kraft. Um ein solches Integral auszuführen, muss man den Weg in viele kleine, gerichtete Streckenabschnitte unterteilen, auf jedem Abschnitt das Skalarprodukt zwischen mittlerem Kraftvektor und Strecke bilden und zum Schluss über alle Beiträge aufsummieren.

Bewegt man den Körper längs einer Geraden und bleibt die Kraft konstant, ist die Arbeit dieser Kraft gleich Kraftkomponente in Bewegungsrichtung mal Verschiebung der Kraftangriffsfläche. Die Formulierung, wonach Arbeit gleich Kraft mal Weg ist, bezieht sich auf diesen Spezialfall. Ist die Kraft in Funktion des Weges gegeben, entspricht die Arbeit bei einer geradlinigen Bewegung der Fläche unter der Kurve im Kraft-Weg-Diagramm.

Das Diagramm zeigt das Kraft-Verformungs-Diagramm eines Puffers für Güterwagen (3g-Puffer der Firma Schwab Verkehrstechnik AG in Schaffhausen). Um diese Daten aufzunehmen, hat man zwei Güterwagen (45 t und 40 t) mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten gegeneinander prallen lassen. Statt vier Puffer auf zwei Stosslinien hat man aber nur zwei auf einer einzigen Stosslinie angeordneten. Deshalb steht im Titel der Graphik 90 Tonnen gegen 80 Tonnen. Anhand dieses Beispiels kann man die Problematik des Kraft- und Arbeitsbegriffes erkennen. Auf jeden Puffer wirken je zwei Kräfte (Ein- und Austritt des Impulsstromes). Zudem bezieht sich die Arbeit der Kraft auf die absolute Bewegung der Kraftangriffsfläche. Im Diagramm ist aber nur eine der beiden Kräfte (Impulsstromstärke) gegen die Verformung des Puffers (Relativbewegung der Endflächen) aufgetragen. Deshalb entspricht die Fläche unter der Kurve der im Puffer drin vom Impulsstrom freigesetzten Energie.

Potentielle Energie

Ein Kran hebt eine Last mit konstanter Geschwindigkeit an. Wählt man die Bezugsrichtung nach unten, fliesst vom Gravitationsfeld Impuls mit konstanter Rate (F_G = m g) in die Last hinein und von dort über Seil und Kran an die Erde weg. Die Stärke des aus der Last abfliessenden Impulsstromes kann man als auf die Last wirkende Seilkraft bezeichnen. Die Stärke des quellenartigen Zuflusses nennt man Gewichtskraft. Weil sich das Seil in negative Richtung bewegt, weil die Geschwindigkeit oder das Energiebeladungsmasse negativ ist, fliesst der Energiestrom im Seil gegen den Impulsstrom, also von der Seilwinde zur Last. Wie der Impuls durch das Gravitationsfeld von der Erde zur Last transportiert wird und was mit der durch das Heben der Last zugeführten Energie passiert, bleibt im Dunkeln.

Von den beiden auf die Last einwirkenden Kräften, der Seilkraft und der Gewichtskraft, lässt sich nur erstere direkt nachweisen. Deshalb ordnet man auch nur dieser eine Arbeit zu. Man sagt dann, dass die Arbeit dieser Kraft gleich der Änderung der potenziellen Energie der Last ist

[math]W(F_S)=-W(F_G)=F_G\Delta h=mg\Delta h=\Delta W_G[/math]

Das Minuszeichen verschwindet bei der dritten Umformung wieder, weil die Gewichtskraft nach unten zieht, die Bewegung aber nach oben erfolgt. Nun kann man zeigen, dass diese Hubarbeit nicht vom Weg, auf dem die Last gehoben wird, sondern nur von der Hubhöhe abhängt. Nur deshalb darf man überhaupt den Begriff einer potentiellen Energie einführen. Die potentielle Energie hängt von der Körpereigenschaft Masse, der Raumeigenschaft Gravitationsfeldstärke und der Höhe ab. Damit lässt sich die potentielle Energie analog zur Gewichtskraft in eine vom Körper festgelegte Grösse (Masse) und eine nur vom Raum abhängige Grösse zerlegen. Die raumabhängige Grösse nennt man Gravitationspotenzial

[math]W_G=m\varphi_G[/math]

Für das elektrische Feld ist eine analoge Aufteilung möglich

[math]W_E=Q\varphi[/math]

Damit kann die Frage nach der Grösse der potentiellen Energie auf die Suche nach dem Wert des zugehörigen Potenzials reduziert werden.

Potenzial

Die Änderung der potenziellen Energie berechnet sich über die Hubarbeit der Kompensationskraft F

[math]W_G=W(\vec F)=-W(\vec F_G)=-\int_{\vec r_0}^{\vec r} \vec F_G\cdot\vec {ds}=-m\int_{\vec r_0}^{\vec r} \vec g\cdot\vec {ds}=m\varphi_G[/math]

Das Potenzial ist demnach gleich dem Wegintegral über der Feldstärke

[math]\varphi_G=\int_{\vec r}^{\vec r_0} \vec g\cdot\vec {ds}[/math]

Wendet man diese Vorschrift auf ein homogenes Feld an, erhält man

[math]\varphi_G=gh[/math]

Bei einem Himmelskörper (Masse m₀) wird das Potenzial sehr weit aussen gleich Null gesetzt. Als Resultat erhält man

[math]\varphi_G=-G\frac{m_0}{r}[/math]

Übertragen auf das elektrische Feld, lautet die Berechnungsvorschrift für das elektrische Potenzial

[math]\varphi=\int_{\vec r}^{\vec r_0} \vec E\cdot\vec {ds}[/math]

Auf hier integriert man vom jeweiligen Punkt zu dem Punkt, an dem das Potenzial gleich Null gesetzt wird. Für die Spannung gilt dann

[math]U=\varphi_1-\varphi_2=\int_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec E\cdot\vec {ds}[/math]

Diese Definition gilt auch dann noch, wenn das elektromagnetische Feld kein Potenzial mehr besitzt, wie das bei dynamischen Vorgängen (Induktionsgesetz, Strahlung, etc.) oft der Fall ist.

Zusammenfassung

Sollten Sie aus Mangel an mathematischen Kenntnissen nicht alles verstanden haben, ist das noch kein Unglück. Prägen Sie sich aber folgendes ein.

Die Stärke einer Feldkraft berechnet sich immer als Produkt aus Körpereigenschaft und Raumeigenschaft (Feldstärke)
- [math]\vec F_G=m\vec g[/math]
- [math]\vec F_E=Q\vec E[/math]
- [math]\vec F_B=Q(\vec v\times \vec B)[/math]
Die potentielle Energie ist gleich Körpereigenschaft mal Raumeigenschaft (Potenzial)
- [math]W_G=m\varphi_G[/math]
- [math]W_E=Q\varphi[/math]
- im Magnetismus gibt es weder Ladung noch Potenzial

Das weiter oben erwähnte Integral, das aus der Feldstärke das Potenzial berechnet, lässt sich nur bei ganz einfach strukturierten Feldern formelmässig auswerten. Bei der Gravitation bestimmt man meist nur das Potenzial eines homogenen (Erdoberfläche) oder eines kugelsymmetrischen Feldes (Himmelskörper). Die zugehörigen Formeln finden Sie weiter oben. In der Elektrodynamik kommt zum homogenen Feld und dem Feld einer Punktladung noch das Feld eines sehr langen Drahtes dazu. Wählt man den Nullpunkt des Potenzials auf der ladungstragenden Metalloberfläche, gilt

Symmetrie	Feldstärke	Potenzial
homogen	[math]E=\frac{1}{\epsilon_0}\frac{Q_0}{A}[/math]	[math]\varphi=\epsilon_0\frac{Q_0}{A}s=Es[/math]
zylindisch (Draht)	[math]E=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{Q_0}{l}\frac{1}{r}[/math]	[math]\varphi=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{Q_0}{l}\ln\frac{r}{r_0}[/math]
kugelförmig	[math]E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_0}{r^2}[/math]	[math]\varphi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}Q_0\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r}\right)[/math]

Die Feldstärke "verdünnt sich" mit dem Abstand wie das Licht eines leuchtenden Punktes (umgekehrt zur Fläche der umhüllenden Kugel), einer geraden Lichterkette (reziprok zur Mantelfäche des umhüllenden Zylinders) oder der Deckenbeleuchtung in einem Grossraumbüro (gar nicht).

Bewegung im Graviationsfeld

Nach dieser kleinen Exkursion in die Feldlehre, bei der Sie den formalen Zusammenhang zwischen Potenzial und Feldstärke kennen gelernt haben, wenden wir uns noch zwei konkreten Beispielen zu.

Achterbahn

Der Wagen einer Achterbahn wurde früher mittels eines Seilzugs auf eine gewisse Höhe (h₀) gebracht. Danach ist der Wagen ohne Antrieb über die verschiedenen Hügel gerollt. Lässt man jegliche Reibung weg, kann die Geschwindigkeit des Wagens in Funktion der momentanen Höhe h angegeben werden. Dazu vergleicht man die Summe aus potentieller und kinetischer Energie zu zwei verschiedenen Zeitpunkten

[math]W_{tot}=W_{kin}+W_G=\frac{m}{2}v^2+mgh=\frac{m}{2}v_0^2+mgh_0[/math]

Setzt man die Geschwindigkeit auf der Höhe h₀ gleich Null, liefert die Auflösung der Gleichung die Geschwindigkeit in Funktion der Höhe h

[math]v=\sqrt{2g(h_0-h)}[/math]

Diese Formel gilt natürlich auch für einen im Vakuum fallen gelassenen Stein.

Moderne Bahnen verfügen über ein hydraulisch betriebenes Katapult. Die Wagen starten dann mit hoher Geschwindigkeit (v₀) am tiefsten Punkt. Hier gilt

[math]W_{tot}=W_{kin}+W_G=\frac{m}{2}v^2+mgh=\frac{m}{2}v_0^2[/math]

oder aufgelöst nach der Geschwindigkeit

[math]v=\sqrt{v_0^2-2gh}[/math]

Diese Formel kann auch auf einen im Vakuum fort geworfenen Stein angewendet werden. Weil immer Reibung vorhanden ist, liefert die Energieüberlegung nur eine obere Grenze für die Geschwindigkeit.

Satellit

Nimmt man die Erde als ruhend an, bleibt die Energie eines um die Erde fallenden Satelliten konstant

[math]W_{tot}=W_{kin}+W_G=m\left(\frac{1}{2}v^2-G\frac{m_E}{r}\right)[/math]

Das Gravitationspotenzial ist hier weit weg, also quasi im Unendlichen, gleich Null gesetzt worden. Deshalb ist die Gesamtenergie bei gebundenen Satelliten immer kleiner Null. Ist die Gesamtenergie eines Raumschiffes grösser als Null, kann es sich der Schwerkraft entziehen. Um die dazu notwendige, minimale Geschwindigkeit (v₀) auf der Erdoberfläche zu (r_E) berechnen, muss man die Gesamtenergie gleich Null setzen

[math]m\left(\frac{1}{2}v_0^2-G\frac{m_E}{r_E}\right)=0[/math]

also ist

[math]v_0=\sqrt{\frac{2Gm_E}{r_E}}[/math]

Nun gilt für die Feldstärke an der Erdoberfläche in guter Näherung

[math]g_E=G\frac{m_E}{r_E^2}[/math]

Setzt man diese Beziehung oben ein, gewinnt man eine kompakte Formel für die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit

[math]v_0=\sqrt{2g_E r_E}[/math] = 11.2 km/s

Diese Beziehung darf auch auf andere Himmelskörper übertragen werden. Auf der Erde können Heliumatome durch thermische Anregung Geschwindigkeiten erreichen, die grösser als die Fluchtgeschwindigkeit sind. Deshalb enthält unsere Atmosphäre sehr wenig von diesem zweithäufigsten Element des Universums. Das doch recht schwache Gravitationsfeld des Mondes vermag überhaupt keine der leichten Gasmoleküle auf Dauer zu halten. Deshalb besitzt der Mond keine Atmosphäre.

Um zu berechnen, wie viel Energie man aufwenden muss, um einen Satelliten in die Umlaufbahn zu bringen, könnte man auch mit diesen Formeln rechnen. Nur machen solche Überlegungen wenig Sinn, weil der Energieaufwand von der Bauweise und auch der Bahn der Trägerrakete abhängt. Würde man einen riesigen Turm bauen, um einen Satelliten mittels einer Seilwinde hinaufzuziehen, sähe die Energiebilanz nochmals anders aus. Dann muss man auch noch die Wirkung des Zentrifugalfeldes der rotierenden Erde berücksichtigen.

Kontrollfragen

Wie berechnet man die Gewichtskraft, wie die potentielle Energie?
Wie hängt das Gravitationspotenzial im homogenen Feld von der Höhe ab?
Wie stark ist das Gravitationsfeld der Erde 6'370 km (ein Erdradius) über der Erdoberfläche?
Um wie viel ändert sich das Gravitationspotenzial zwischen Erdoberfläche und der oben genannten Höhe?
Wie schnell bewegt sich eine reibungsfrei gleitende Luftkissenbahn auf der Höhe h, wenn sie auf der Höhe h₀ gestartet ist?
Wie schnell bewegt sich ein Satellit, der im Abstand r auf einer Kreisbahn um die Erde fällt?

Antworten zu den Kontrollfragen

Die Gewichtskraft ist gleich Masse mal Stärke des Gravitationsfeldes [math]F_G=mg[/math]; die potentielle Energie ist gleich Masse mal Gravitationspotenzial [math]W_G=m\varphi_G[/math].
Das Gravitationspotenzial ist im homogenen Feld gleich Feldstärke mal Höhe [math]\varphi_G=gh[/math].
Im Abstand des doppelten Erdradius von der Erdmitte ist das Gravitationsfeld nur noch ein Viertel so stark wie an der Erdoberfläche.
Der Betrag des Gravitationspotenzials ist dort oben nur noch halb so gross wie auf der Erdoberfläche.
Die Geschwindigkeit ist gleich [math]v=\sqrt{2g(h_0-h)}[/math].
Aus der Gleichsetzung der Beschleunigung mit der Gravitationsfeldstärke folgt [math]v=\sqrt{ar}=\sqrt{gr}=\sqrt{g_0\frac{r_0^2}{r}}=\sqrt{\frac{GM_E}{r}}=\sqrt{-\varphi_G}[/math]. Die Geschwindigkeit ist gleich der Wurzel aus dem Betrag des Gravitationspotenzials.

Materialien

Skript Seiten 9 und 15
Physik - Ein systemdynamischer Zugang für die Sekundarstufe II Seiten 108 - 109
Videoaufzeichnung
Kurzfassung auf Youtube

Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014

Physik und Systemwissenschaft in Aviatik