Schiefe Ebene

Beschreibung

Die schiefe oder geneigte Ebene bildet eine mechanische Begrenzung des Raumes. Ein Körper, der auf die Ebene gelegt wird, muss sich längs der schiefen Ebene bewegen, weil diese das Eindringen zwangsweise verhindert.

Üblicherweise betrachtet man auf der schiefen Ebene nur Bewegungungen längs der Falllinie. Körper mit einer ebenen Standfläche können infolge der Haftreibung in Ruhe bleiben oder hinunter oder sogar hinauf gleiten. Der letzte Fall tritt nur ein, wenn sich die Körper zu Beginn der Beobachtung schon hinauf bewegen, wenn der Impulsinhalt anfänglich ungleich Null ist. Runde (zylindersymmetrische) Körper rollen hinunter oder hinauf. Hinauf rollende Körper kommen oben zur Ruhe und rollen danach wieder hinunter.

Jeder Körper besitzt in seinem Innern eine gravitative Impulsquelle, die man Gewichtskraft nennt und mit einem Pfeil markiert. Die Stärke der Gewichtskraft ist gleich (schwere) Masse m mal Gravitationsfeldstärke g. Auf der Erde nimmt die Gravitationsfeldstärke im Mittel den Wert 9.81 N/kg an. Um die Bewegung auf der schiefen Ebene bessere beschreiben zu können, führen wir ein Koordinatensystem ein, dessen x-Achse längs der Falllinie zeigt. Die z-Achse steht dann normal zur Ebene.

Statik

Impulsstrom und Schnittbilder

Ein Körper, der auf der schiefen Ebene ruht, gibt den gravitativ zufliessenden Impuls verzögerungsfrei an die Ebene weiter. Gemittelt über den ganzen Körper muss der Impuls exakt nach unten durch den Körper abfliessen. Impuls, der quer zu seiner Bezugsrichtung strömt, würde unweigerlich eine Drehimpulsquelle aufbauen. Drehimpulsquellen, die sich durch die Verformung des Körpers bilden, werden durch die schiefe Ebene vollständig kompensiert (sonst würde der Körper in Drehung versetzt).

x- und z-Impulsströme im Klotz

Die Impulsquelle darf nun zu einer Punktquelle im Schwerpunkt des Körpers zusammengefasst werden. Bezüglich eines Koordinatensystems, dessen z-Achse nach unten weist, muss der z-Impuls - damit sich keine Drehimpulsquelle ausbildet - von der Quelle lotrecht nach unten an die Ebene abfliessen. Nach der allgemeinen Regel für die Kraftpfeile ist ein zufliessender Impulsstrom mit einem in positive Richtung weisenden Kraftpfeil zu versehen. Ein abfliessender Impulsstrom ergibt demnach einen gegen die entsprechende Koordinatenachse weisenden Pfeil. Gemäss dieser Regel muss die Impulsquelle bezüglich des Körpers mit einem nach unten weisenden Gewichtskraftpfeil markiert werden. Der Betrag dieses Pfeils entspricht der Stärke der Impulsquelle. Die Stärke des aus dem Körper abfliessenden Impulsstromes wird mit einem zweiten Kraftpfeil, der kein eigener Namen hat, gekennzeichnet. Die beiden Kraftpfeile sind entgegengesetzt gleich gross, solange sich der Impulsinhalt des Körpers nicht ändert, solange der Körper im Gleichgewicht ist. Grösse und Betrag der Kraftpfeile hängen nicht von der Wahl des Koordinatensystems ab.

Dreht man nun das Koordinatensystem so, dass die x-Achse parallel zu Ebene und die z-Achse normal dazu zeigt, können die beiden Kräfte in je zwei Komponenten zerlegt werden. Die Parallelkomponente der Kraft von der Ebene auf den Körper nennt man Haftreibungskraft, die normal stehende Normalkraft. Die parallel weisende Komponente der Gravitationskraft heisst oft Hangabtrieb. Dass in den meisten Physikbüchern die Normalkomponente der Gewichtskraft mit der Normalkraft verwechselt wird, ist ein klares Indiz dafür, dass die Newton- oder Punktmechanik für den Physikunterricht nicht geeignet ist.

Das Bild zeigt die x- und z-Impulsströme im Klotz bezüglich eines mit der x-Achse in Fallrichtung gedrehten Koordinatensystems. Beide Impulskomponenten strömen im wesentlichen nach unten weg, d.h. beide Impulskomponenten weisen bezüglich ihrer Koordinatenrichtung einen seitlichen Drift auf. Die zugehörigen Drehimpulsquellen heben sich aber weg. Ob ein Impulsstrom als Ganzes (alle drei Komponenten) eine Drehimpulsquelle ausbildet oder nicht, hängt nicht von der (willkürlichen) Wahl des Koordinatensystems ab.

gleitende Körper

Gleitreibungskraft bei einem anfänglich nach oben gleitenden Körper

Ist die Parallelkomponente der Gewichtskraft grösser als die maximal möglich Haftreibungskraft oder bewegt sich der Körper schon von Anfang an, wirkt statt der Haftreibungskraft eine Gleitreibungskraft. Die Gleitreibungskraft ist immer gegen die Relativbewegung gerichtet, d.h. der x-Impuls fliesst in der Grenzschicht zwischen Körper und Ebene immer von der höheren zur tieferen Geschwindigkeit und setzt dabei Energie frei.

Wählt man ein Koordinatensystem mit der x-Achse parallel zur Ebene und der z-Achse normal in die Ebene hinein, fliessen vom Gravitationsfeld sowohl x-Impuls (Hangabtriebskraft) als auch z-Impuls zu. Der z-Impuls wird von der Quelle direkt an die Ebene abgeführt. Der x-Impuls bestimmt das Bewegungsverhalten. Das Bild zeigt das Reibungskraft-Zeit-Verhalten eines Körpers, der sich anfänglich nach oben bewegt. In der ersten Phase wirken Gravitation und Reibung in die gleiche Richtung. Sowohl Gravitationsfeld als auch schiefe Ebene führen dem Körper x-Impuls zu. Nach dem Umkehrpunkt fliesst ein Teil des gravitativ zugeführten Impulses an die Ebene weg. Ist die Gleitreibung zu stark, bleibt der Körper im Umkehrpunkt stehen. Dann tritt der statische Fall ein, bei dem der gravitativ zuquellende Impuls unmittelbar an die Ebene abgeführt wird.

rollende Körper

Reibung auf einen anfänglich rotierenden Körper

Beim Rollkörper fliesst der gravitativ zugeführte z-Impuls (gleiches Koordinatensystem wie beim gleitenden Körper) in seine eigene Bezugsrichtung direkt an die Ebene weg. Gäbe es zwischen Rollkörper und schiefer Ebene keine Reibung, würde der Körper ohne zu drehen die schiefe Ebene hinunter rutschen, weil der gravitativ zugeführte x-Impuls mangels Abfluss gespeichert werden muss. Wirkt zusätzlich eine Haft- oder Gleitreibungskraft, fliesst ein Teil des gravitativ zugeführten x-Impulses in z-Richtung an die Ebene ab. Dieser seitwärts zu seiner eigenen Bezugsrichtung fliessende Impulsstrom erzeugt eine Drehimpulsquelle, die den Rollkörper in Rotation versetzt. Solange der Körper ohne zu rutschen rollt, sorgt die Haftreibungskraft dafür, dass Impuls- und rehimpulsaustausch gerade so gross sind, dass der Rollbedingung erfüllt bleibt.

Das Bild zeigt zeigt das Haft- und Gleitreibungsverhalten eines Körpers, der rotierend auf die Ebene abgesetzt wird. Der Rollkörper rotiert anfänglich im Uhrzeigersinn. Die Gleitreibungskraft zeigt hangabwärts, d.h. sowohl Gravitationsfeld wie auch Ebene führen dem Körper x-Impuls zu. Bei schwach geneigter Ebene kommt der Körper ins Rollen, bei starkem Gefälle kehrt die Gleitreibungskraft das Vorzeichen um.

Mathematische Lösung

Klotz

Auf den Klotz wirken die nur Gewichtiskraft (Impulsquelle) und die Unterlageskraft (Impulsstromstärke) ein. Die Unterlagskrat kann in eine normal stehende und eine tangential gerichtete Komponente zerlegt werden. Die normale Komponente nennt man Normalkraft, die tangentiale wahlweise Haftreibungskraft oder Gleitreibungskraft.

Bleibt ein auf die schiefen Ebene gesetzte Klotz in Ruhe, muss die Summe über alle Kräfte gleich Null sein

Gleichgewicht in x-Richtung: [math]F_G \sin(\varphi) - F_{HR} = 0[/math]

Gleichgewicht in z-Richtung: [math]F_G \cos(\varphi) - F_N = 0[/math]

Diese beiden Gleichungen sind trivialerweise erfüllt, solange der Körper in Ruhe bleibt. Die ober Grenze der Haftreibungskraft hängt von der Beschaffenheit der Berührflächen ab. Diesse Beschaffenheit wird mit der Hafreibungszahl μ_H beschrieben. Zwischen den beiden Komponenten der Unterlagskraft gilt der folgende Zusammenhang

[math]F_{HR} \le \mu_H \cdot F_N[/math]