Schwerpunkt

Aus SystemPhysik
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Der volumenmässige Austausch von Impuls zwischen Körper und Gravitationsfeld kann, falls nur die Gesamtbilanz der Bewegungsmengen (Impuls und Drehimpuls) von Interesse ist, durch eine einzige, punktförmige Impulsquelle ersetzt werden. Der Ort dieser Punktquelle, deren Stärke man als Gewichts-, Schwer- oder Gravitationskraft bezeichnet, heisst Schwerpunkt des Körpers. Man sagt dann, dass die Gewichtskraft im Schwerpunkt angreift. Die Lage des Schwerpunktes bezüglich des Körpers hängt im allgemeinen von der der Beschaffenheit des Gravitationsfeldes ab. Im homogenen Gravitationsfeld fällt der Schwerpunkt mit dem Massenmittelpunkt zusammen.

Massenpunkte

Der Schwerpunkt einer Ansammlung von Massenpunkten berechnet sich über das Hebelgesetz

[math]m (\vec s_{SP} \times \vec g_{SP}) = \sum_i \vec s_i \times \vec F_G{_i}= \sum_i m_i(\vec s_i\times \vec g_i)[/math]

In einem homogenen Gravitationsfeld kann die Feldstärke g ausgeklammert und weggekürzt werden

[math]\vec s_{SP} = \frac {\sum_i m_i \vec s_i }{\sum_i m_i} = \frac {1}{m}\sum_i m_i \vec s_i[/math]

ausgedehnte Körper

Zerlegt man einen ausgedehnten Körper in lauter Punkte mit dem Volumen dV, kann die Summe durch ein Integral ersetzt werden

[math]m (\vec s_{SP} \times \vec g_{SP}) = \int \vec s \times \rho(\vec s)\vec g(\vec s)dV [/math]

In einem homogenen Feld fällt die Stärke des Gravitationsfeldes weg

[math]\vec s_{SP} = \frac {\int \rho(\vec s) \vec s dV}{\int \rho(\vec s)dV} = \frac {\int \rho(\vec s) \vec s dV}{m}[/math]

Schwerlinie

Hängt man einen Körper im homogenen Gravitationsfeld an einem beliebigen Punkt auf, so kommt der Schwerpunkt lotrecht unter dem Aufhängepunkt zur Ruhe. Die Gerade, die durch den Aufhänge- und den Schwerpunkt verläuft, nennt man Schwerelinie. Folglich schneiden sich alle Schwerlinien in einem Punkt. Experimentell findet man den Schwerpunkt eines Körpers, indem man mindestens drei verschiedene Schwerelinien bestimmt.