Lösung zu Langes Rohr
In einem ersten Schritt muss untersucht werden, ob die Strömung laminar oder turbulent ist. Dazu berechnen wir den kritischen Volumenstrom:
- [math]I_{V_{krit}}=\frac{R_V}{k}=\frac{\frac {128 \eta l}{\pi d^4}}{\lambda \frac {8 \varrho l}{\pi^2d^5}}=\frac{16\pi\eta d} {\lambda\varrho} = \frac{16\pi * 0.07 Pas * 0.026 m} {0.02 * 850 kg/m^3} = [/math] 5.38 l/s = 323 l/min
Dieser Wert, der mit λ = 0.02 gerechnet worden ist, liegt deutlich höher als die gegebene Volumenstromstärke von 75 l/min = 1.25 l/s. Folglich ist der Volumenstrom laminar und der Widerstand beträgt
- [math]R_V=\frac{128 \eta l}{\pi d^4} = \frac{128 * 0.07 Pas * 15 m}{\pi (0.026 m)^4}[/math] = 9.36 107 Pas/m3
1. Im Rohr laufen drei Prozesse ab, ein hydraulischer Prozess treibt einen gravitativen und einen dissipativen (thermischen) Prozess an. Dabei ist die dissipative Prozessleistung gleich gross wie das Podukt aus
- Gravitative Druckdifferenz im Gravitationsprozess: ΔpG = ρ g Δ h = 850 kg/m3 * 9.81 N/kg * 3.5 m = 0.292 bar
- Resistive Druckdifferenz im dissipativen Prozess: ΔpR = RV1 IV = 9.36 107 Pas/m3 * 1.25 l/s = 1.17 bar
- Totale Druckdifferenz im hydraulischen Prozess: Δptot = Δ pG + Δ p R = 0.292 bar + 1.17 bar = 1.46 bar
2. Leistung des gravitativen und des hydraulischen Prozesses
- PG = ΔφG Im = g Δh ρ IV = 9.81 N/kg * 3.5 m * 850 kg/m3 * 1.25 l/s = 36.5 W
- Pdiss = ΔpR IV = RV1 IV2 = 9.36 107 Pas/m3 * (1.25 l/s)2 = 146 W (diese Prozessleistung wird dissipiert, d.h. das Öl heizt sich mit dieser Zuwachsrate an inneren Energie auf)
- Phyd = PG + Pdiss = 182 W
3. Der Widerstand des 2. Rohres ist umgekehrt proportional zur 4. Potenz des Durchmessers; für parallele Widerstände werden ihre Kehrwerte addiert
- RV2 = (d1 / d2)4 * RV1 = (0.026 m / 0.019 m)4 * 9.36 107 Pas/m3 = 3.28 108 Pas/m3
- RV tot = 1 / ( 1/RV1 + 1/RV2 ) = 7.28 107 Pas/m3
- IV tot = ΔpR / RV tot = 96.4 l/min = 1.61 l/s