Präzession

Phänomen

Wirkt auf einen Kreisel ein Drehmoment ein, das normal zum Drehimpuls steht, weicht der Kreisel seitwärts weg. Dieses Phänomen kann an einem rotierenden Velorad schön gezeigt werden. Packt man das sich drehende Rad mit den Händen an beiden Enden der Achse und erzeugt durch ziehen auf der einen Seite und stossen auf der andern ein Kräftepaar, kippt das Rad normal zur Richtung des durch das Kräftepaar erzeugten Drehmomentes weg.

Das Phänomen erscheint uns paradox, weil wir gemäss unserem Verständnis der Kausalität immer eine Wirkung erwarten, in der die Ursache noch "nachklingt". Dies funktioniert in der Mechanik nur in einfachen Fällen. Sobald ein Körper Impuls oder Drehimpuls ohne Energie austauscht, haben wir Mühe mit der Argumentation. Ein starrrer Körper tauscht energiefrei Impuls oder Drehimpuls aus, sobald der Kraftvektor normal zum Impulsvektor bzw. der Drehmomentvektor normal zum Drehimpulsvektor steht. Deshalb haben wir bei der Kreisbewegung und der Präzession grosse Schwierigkeiten mit der korrekten Erklärung. Bei der Kreisbewegung ist man geneigt, gegen alle Theorie eine Zentrifugalkraft einzuführen, bei der Präzession akzeptiert man, dass die Kreiseltheorie halt unverständlich ist.

Die Physik der dynamischen Systeme arbeitet in der nichtrelativistische Mechanik auf drei Ebenen, der Bilanz-, die Geometrie- und der Energieebene. Lässt man die Energie vorerst weg, hat man nur noch die Impuls- bzw. die Drehimpulsbilanz und den geometrischen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Ort bzw. Winkelgeschwindigkeit und Drehung. Das Präzession kann nun wie die Kreisbewegung auf der Ebene der Bilanz am einfachsten verstanden werden.

Theorie

Jedes Drehmoment, jeder Drehimpulsstrom bezüglich des Körpers, ändert den Inhalt an Drehimpuls (Bilanzgleichung). Weil sich der Drehimpuls im Raum wie ein Vektor transformiert, kann die Änderungsrate des Drehimpulses in eine spezielle Form gebracht werden

[math]\vec M_{res} = \dot L \frac {\vec L} {L} + \vec \omega_k \times \vec L[/math]

Der Index k bei der Winkelgeschwindigkeit steht für "Kippbewegung". Der Index soll verhindern, dass man die Winkelgeschwindigkeit der Kippbewegung mit der des rotierenden Körpers verwechselt. Die Änderungsrate des Drehimpulses kann somit wie die des Impulses in eine Änderungsrate des Betrages und eine Kippbewegung zerlegt werden.

Berechnet man den zugeordneten Energiestrom des resultierenden Drehimpulsstromes, die Leistung des Drehmomentes, zeigt sich, dass aus der Sicht der Energiebilanz diese Zerlegung der Drehimpulsänderungsrate als natürlich bezeichnet werden kann

[math]P(\vec M_{res}) = \vec \omega[\dot L \frac {\vec L} {L} + \vec \omega_K \times \vec L] = \omega \dot L = J \omega \dot \omega = \dot{W_{rot}}[/math]

Das zweite und die nachfolgenden Gleichheitszeichen treffen nur zu, wenn der Kreisel um eine Hauptachse rotiert. ω bezeichnet die Winkelgeschwindigkeit des Körpers (Potenzial oder Energiebeladungsmasse des Drehimpulsstromes).

Steht nun das Drehmoment normal zum Drehimpuls, verschwindet der erste Teil. Somit gilt für die reine Präzession

[math]\vec M_\perp = \vec \omega_K \times \vec L[/math]

Steht das Drehmoment senkrecht auf dem Drehimpuls, ändert sich dessen Richtung, nicht aber dessen Betrag. Bleibt man auf der Ebene der Bilanz, sind Kippbewegung des ausgewuchteten Kreisels und Kreisbewegung dynamisch analog zueinander.