Raumzeit

In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zur vierdimensionalen Raumzeit vereinigt. Ein Raum-Zeit-Punkt heisst dann Ereignis. Das Skalarprodukt wird auf die Zeit ausgedehnt, womit der Abstandsbegriff eine neue Bedeutung bekommt, und die räumliche Drehung wird auf zurLorentz-Transformation erweitert. Die Verteilung der Energie (Masse) und des Impujlses nehmen Einfluss auf die Gemotrie; der Energie-Impuls-Tensor bestimmt die Krümmung der Raumzeit-.

Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie

Allgemeines

In der speziellen Relativitätstheorie (SRT) werden die dreidimensionalen Raumkoordinaten [math](x,y,z)[/math] um eine Zeitkomponente [math]ct[/math] zu einem Vierervektor erweitert, also [math](ct,x,y,z)[/math].

Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem ist der differentielle räumliche Abstand zweier Punkte

[math]\mathrm ds^2=\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2.[/math]

Ein Punkt in der Raumzeit besitzt drei Raumkoordinaten sowie eine Zeitkoordinate und wird als Ereignis bezeichnet. Für Ereignisse wird ein raum-zeitlicher Abstand definiert

[math]\mathrm ds^2=\eta_{\mu\nu}\mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu = c^2 \mathrm dt^2 - \mathrm dx^2 - \mathrm dy^2 - \mathrm dz^2.[/math]

Dies ist die Metrik der flachen Raumzeit der SRT mit dem metrischen Tensor [math]\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)[/math]. Sie wird auch als Minkowski-Metrik bezeichnet. [math]\mathrm ds[/math] heißt Linienelement und ist proportional zur Eigenzeit [math]\mathrm d\tau=c\,\mathrm ds[/math].

Indem man fordert, dass dieser vierdimensionale Abstand (bzw. die Minkowski-Metrik) konstant (invariant) unter einer linearen Koordinatentransformation ist, definiert man die Lorentz-Transformation. Für Licht, das sich mit der Geschwindigkeit [math]c[/math] bewegt, gilt für alle Zeiten und Bezugssysteme [math]\mathrm ds=0[/math]. Daraus ergibt sich die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, das Ausgangsprinzip der speziellen Relativitätstheorie.

Zwei Ereignisse, für die das Argument der Wurzel positiv ist, sind raum-zeitlich so weit entfernt, dass ein Lichtstrahl nicht von einem zum anderen Ereignis gelangen kann. Hierzu wäre Überlichtgeschwindigkeit nötig. Da Information entweder über Licht oder Materie übertragen wird und Materie in der Relativitätstheorie niemals die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann (und somit auch nicht schneller als diese sein kann), können solche Ereignisse niemals in einer Ursache-Wirkung-Beziehung stehen. Die Raumzeit ist also zweigeteilt: Ereignisse mit imaginärem Raumzeit-Abstand kann ein Beobachter sehen. Ereignisse, die zu weit entfernt sind und nur mit Überlichtgeschwindigkeit wahrgenommen werden können, sind prinzipiell unsichtbar.

Motivation der Minkowski-Metrik

• Betrachtet man den Differentialoperator [math]\Box[/math] der Wellengleichung

[math]\Box=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\vec\nabla^2,[/math]

so sieht man, dass man [math]\Box=\partial_\mu \partial^\mu[/math] schreiben kann, wenn man die folgenden zwei Vierervektoren einführt:

[math]\partial_\mu=(c\frac{\partial}{\partial t},\vec\nabla) \quad\wedge\quad \partial^\mu=(-c\frac{\partial}{\partial t},\vec\nabla)[/math]

In diesem Fall tritt die Zeit als vierte Dimension auf, die Metrik [math]\eta_{\mu\nu}[/math] muss also eine [math]4\times 4[/math]-Matrix sein.

• Da die vier Dimensionen linear unabhängig sind, lässt sich [math]\eta_{\mu\nu}[/math] auf Diagonalform bringen (Hauptachsentransformation):

[math](\eta_{\mu\nu})=\left(\begin{array}{cccc} \alpha_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha_3 \end{array}\right)[/math]

• Da keine der Raumzeit-Koordinaten ausgezeichnet ist, können die Diagonalelemente nur [math]\pm 1[/math] sein. Für die Raumkoordinaten wählt man meist [math]-1[/math]. Dies ist aber eine Konvention, die nicht einheitlich verwendet wird.

[math](\eta_{\mu\nu})=\left(\begin{array}{cccc} \pm1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)[/math]

• Die Zeitkomponente kann nicht dasselbe Vorzeichen haben wie die Raumkomponenten! Betrachte dazu den Differentialoperator [math]\Box[/math] der Wellengleichung:

[math]\Box=\partial_\mu\partial^\mu=\eta_{\mu\nu}\partial^\mu\partial^\nu[/math]

Daraus ergäbe sich als homogene Wellengleichung für eine Welle [math]\psi[/math]

[math]\left(\vec\nabla^2+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\psi=0[/math]

Setzt man nun für [math]\psi[/math] eine ebene Welle an, d.h. [math]\psi(\vec r,t)=A\,e^{i(\vec k\cdot\vec r-\omega t)}[/math], so ergäbe sich eine komplexe Frequenz und damit wäre [math]\psi[/math] exponentiell gedämpft. In diesem Fall gäbe es also keine dauerhaften ebenen Wellen, was im Widerspruch zur Beobachtung steht. Folglich muss die Zeitkomponente ein anderes Vorzeichen haben:

[math](\eta_{\mu\nu})=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)[/math]

Daraus ergibt sich dann die korrekte homogene Wellengleichung:

[math]\left(\vec\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\psi=0[/math]

Minkowski-Diagramm

Im Minkowski-Diagramm können die Verhältnisse geometrisch dargestellt und analysiert werden. Wegen der komplexen Eigenschaft der Zeitkomponente wird dort die Drehung der Zeitachse mit umgekehrtem Vorzeichen wie die Drehung der Koordinatenachse dargestellt.

Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie

Nichteuklidische Geometrien

Grundlage zur Beschreibung der Raumzeit (ct,x,y,z) in der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Riemannsche Geometrie. Die Koordinatenachsen sind hier nichtlinear, was als Raumkrümmung interpretiert werden kann. Für die vierdimensionale Raumzeit werden die gleichen mathematischen Hilfsmittel wie zur Beschreibung einer zweidimensionalen Kugeloberfläche oder für Sattelflächen herangezogen. Als unumstößlich angesehene Aussagen der euklidischen Geometrie, insbesondere das Parallelenaxiom, müssen in diesen Theorien aufgegeben und durch allgemeinere Beziehungen ersetzt werden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist hier beispielsweise kein Geradenteilstück mehr. Einer Geraden in der euklidischen Geometrie entspricht die Geodäte in der nicht-euklidischen Welt; im Falle einer Kugeloberfäche sind die Geodäten die Großkreise. Die Winkelsumme im - aus Geodätenabschnitten bestehenden - Dreieck ist auch nicht mehr 180 Grad. Im Falle der Kugeloberfläche ist sie größer als 180 Grad, im Falle von Sattelflächen dagegen kleiner.

Raumzeit-Krümmung

Die Krümmung von Raum und Zeit wird durch Masse, Strahlung und Druck verursacht; diese Größen bilden zusammen den Energie-Impuls-Tensor und gehen in die Einsteingleichungen als Quelle des Gravitationsfeldes ein. Die daraus resultierende krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang der Geodäten wird der Gravitationsbeschleunigung zugeschrieben; in diesem Modell existiert so etwas wie eine Gravitationskraft nicht mehr. In einem infinitesimalen Raumabschnitt (lokale Karte) besitzt das erzeugte Gravitationsfeld stets die flache Metrik der speziellen Relativitätstheorie. Dies wird durch eine konstante Raumkrümmung mit dem Faktor g/c² beschrieben. Die Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurven in der Raumzeit) aller kräftefreien Körper in diesem Raumabschnitt ist gleich.

In vielen populären Darstellungen der allgemeinen Relativitätstheorie wird häufig nicht beachtet, dass nicht nur der Raum, sondern auch die Zeit gekrümmt sein muss, um ein Gravitationsfeld zu erzeugen. Dass stets Raum und Zeit gekrümmt sein müssen, ist anschaulich leicht zu verstehen: Wäre nur der Raum gekrümmt, so wäre die Trajektorie eines geworfenen Steines immer dieselbe, egal welche Anfangsgeschwindigkeit der Stein besäße, da er stets nur dem gekrümmten Raum folgen würde. Nur durch die zusätzliche Krümmung der Zeit können die verschiedenen Trajektorien zustande kommen. Im Rahmen der ART kann dies auch mathematisch gezeigt werden.

Im normalen, dreidimensionalen Raum ist nur die Projektion der Weltlinien auf die Bewegungsebene sichtbar. Hat der Körper die Geschwindigkeit v, so ist die Weltlinie gegenüber der Zeitachse geneigt, und zwar um den Winkel [math]\tan \alpha=v/c[/math]. Die Projektion der Bahn wird mit steigendem v um den Faktor [math]1/\sin \alpha[/math] länger, der Krümmungsradius um den gleichen Faktor [math]1/\sin \alpha[/math] größer, die Winkeländerung also kleiner. Die Krümmung (Winkeländerung pro Längenabschnitt) ist daher um den Faktor [math]sin^2\alpha[/math] kleiner.

Mit

[math]\sin \alpha=\frac{v}{c}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{c^2}}}[/math]

folgt dann aus der Weltlinienkrümmung g/c² für die beobachtete Bahnkrümmung [math]R[/math] im dreidimensionalen Raum

[math]R=\frac{g}{v^2} \cdot \left(1 + \frac{v^2}{c^2} \right)[/math].

Raumkrümmung und Zentrifugalbeschleunigung

Für kleine Geschwindigkeiten v<<c ist die Bahnkrümmung g/v² und entspricht damit dem Wert bei einer klassischen Zentrifugalbeschleunigung. Für Lichtstrahlen mit v=c hat der Faktor (1 + v²/c²) den Wert 2, die Krümmung entspricht also dem doppelten Wert 2g/v² der klassischen Betrachtung. Die Winkelabweichung von Sternenlicht der Fixsterne in Sonnenähe sollte also doppelt so groß sein wie im klassischen Fall. Dies wurde durch eine Afrikaexpedition zur Beobachtung der Sonnenfinsternis von 1919 durch Arthur Eddington zuerst verifiziert.

Wegen der geringen Abweichung vom klassischen Wert sind die Planetenbahnen auch keine exakten Ellipsen mehr, sondern Rosetten. An der Periheldrehung des Planeten Merkur wurde dies erstmals nachgewiesen.

Symmetrien

Die Raumzeit ist charakterisiert durch eine Anzahl von Symmetrien, die sehr wichtig für die darin geltende Physik sind. Zu diesen Symmetrien zählen neben den Symmetrien des Raumes (Translation, Rotation) auch die Symmetrien unter Lorentztransformationen (Wechsel zwischen Bezugssystemen verschiedener Geschwindigkeit). Letzteres stellt das Relativitätsprinzip sicher.

Weblinks

• Albert Einstein: Space-Time, der klassische Lexikonartikel der Encyclopædia Britannica 1926