Energiestromdichte

Die Energiestromdichte beschreibt, wie viel Energie pro Zeit und pro Fläche an einem bestimmten Raumpunkt transportiert wird. Folglich ist die Energiestromdichte ein Vektor mit der Einheit W/m². Zwischen der Energiestromdichte [math]\vec j_W[/math] und der Energiestromstärke [math]I_W[/math] gilt der formale Zusammenhang

[math]I_W=\int \vec j_W d\vec A[/math]

Die Energie kann zusammen mit der Materie (konvektiv), zusammen mit einem leitungsartigen Strom oder durch das elektromagnetische Feld (strahlungsartig) transportiert werden. Die Energiestromdichte entspricht dem raumartigen Teil der ersten Zeile des Energie-Impuls-Tensors

konvektiver Transport

Ein Körper kann auf drei Arten speichern Energie. Dementsprechend unterscheidet man zwischen potenzieller, innerer und Bewegungsenergie. Die potenzielle und die Bewegungsenergie sind äussere Speicherformen. Die potentielle Energie sitzt im elektromagnetischen oder Gravitationsfeld und wird über das entsprechende Potenzial dem Körper zugeordnet. Als Bewegungsenergie bezeichnet man den Anteil, der zusammen mit dem Impuls (kinetische Energie) oder dem Drehimpuls (Rotationsenergie) gespeichert wird. Lässt man das elektromagnetische Feld und die Rotationsenergie weg, gilt für die Stärke des konvektiven Energiestromes

[math]I_W=\varrho_{W_{tot}}I_V[/math] mit [math]\varrho_{W_{tot}} =\frac{\varrho}{2}v^2+\varrho gh+\varrho_W[/math]

wobei der erste Term die Dichte der kinetischen, der zweite die Dichte der Graviations- und der dritte die Dichte der inneren Energie beschreibt. Multipliziert man den Volumenstrom mit der Massendichte, folgt

[math]I_W=w_{tot}I_m[/math] mit [math]w_{tot}=\frac{v^2}{2}+gh+w_W[/math]

Die drei Terme sind die spezifische kinetische, die spezifische Gravitations- und die spezifische innere Energie. Weil zwischen der Strömungsgeschwindigkeit (Volumenstromdichte) und der Volumenstromstärke ein analoger Zusammenhang wie zwischen Energiestromdichte und Energiestromstärke besteht

[math]I_V=\int \vec v d\vec A[/math],

darf die Zuordnung direkt auf die Energiestromdichte übertragen werden

[math]\vec j_W=\varrho_{W_{tot}}\vec v=w_{tot}\vec j_m[/math] mit [math]\vec j_m=\varrho\vec v[/math]

Strahlungsartiger Transport

Die Energiestromdichte im elektromagnetischen Feld wird durch den Poynting-Vektor beschrieben, der üblicherweise mit [math]\vec S[/math] bezeichnet wird. Im Vakuum gilt

[math]\vec j_W=\vec S=\frac{1}{\mu_0}\left(\vec E\times\vec B\right)[/math]

Der Betrag der Energiestromdichte der Sonnenstrahlung am Ort der Erde heisst auch Solarkonstante.

Im Gravitationsfeld macht die Lokalisierung der Energiestromdichte wenig Sinn.

Zugeordneter Transport

Im Prinzip lässt sich jeder zugeordnete Energiestrom in eine Energiestromdichte umschreiben, indem man die Stromstärke einer Primärgrösse durch die Stromdichte ersetzt. Dabei ist zu überlegen, wie weit eine solche Formulierung Sinn macht.

Elektrodynamik

Die der elektrischen Stromdichte [math]\vec j[/math] zugeordnete Energiestromdichte ist gleich

[math]\vec j_W=\varphi\vec j[/math] wobei φ für das elektrische Potenzial steht. Statt über eine einfache Zuordnung kann der direkt mit der elektrischen Ladung verknüpfte Energiestransport auch als verteiltes Phänomen mit Hilfe des oben erwähnten Poynting-Vektors beschrieben werden.

Thermodynamik

Für die zusammen mit der Entropie transportierte Energie gilt

[math]\vec j_W=T\vec j_S[/math]

Die Zusammen mit einer diffundierenden Stoffmenge transportierte Energie lässt sich folgendermassen beschreiben

[math]\vec j_W=\mu\vec j_N[/math]

T steht für die absolute Temperatur und μ für das chemische Potenzial.

Mechanik

Der Drehimpuls lässt sich nicht lokalisieren und der hydraulisch zugeordnete Energiestrom ist ein Spezialfall der Mechanik. Für die dem Impuls zugeordnete Energiestromdichte gilt

[math]j_{W_i}=j_{p_{ij}}v_j=-\sigma_{ji}v_j[/math]

In der zweiten Umformung wird die leitungsartige Impulsstromdichte durch den transponierten, negativen Spannungstensor ersetzt. Um die Multiplikation eines Tensors mit einem Vektor kompakt zu schreiben, wird die Einstein-Notation verwendet. Herrscht in einer Flüssigkeit oder einem Gas ein isotroper Spannungszustand, ergibt sich der hydraulisch zugeordnete Energiestrom (der Druck ist dann gleich minus der Spur des Spannungstensors geteilt durch drei)

[math]\vec j_W=p\vec v[/math]