Federpendel

Ein Federpendel besteht aus einer linearen Feder und einem daran befestigten Körper besteht. Lenkt man den an der Feder hängenden Körper aus und lässt ihn dann los, bewegt er sich danach auf und ab. Hätte die Feder eine exakt lineare Charakteristik und könnte man jegliche Reibung (Luftwiderstand, innere Reibung der Feder) vernachlässigen, wäre das Federpendel ein harmonischer Oszillator.

Schwingungsgleichung

Schneidet man den Körper frei, findet man drei Kräfte, die Gewichtskraft, die Federkraft und die Kraft der Luft. Die Luftkraft kann in einen statischen Teil (Auftrieb) und einen dynamischen (Luftwiderstand) zerlegt werden. Wählt man die positive Richtung der z-Achse nach unten und den Nullpunkt am Ort des Körpers bei entspannter Feder, lautet die Impulsbilanz oder das Grundgesetz der Mechanik

[math]F_G-F_F\mp F_W=ma[/math]

wobei das Vorzeichen des Luftwiderstandes von der Bewegungsrichtung abhängt. Vernachlässigt man nun den Luftwiderstand und setzt für die beiden andern Kräfte die entsprechenden Gesetze ein, erhält man die Differentialgleichung

[math]mg-Dz=m\ddot z[/math]

Nun verschiebt man mittels einer Variablentransformation den Nullpunkt in die Gleichgewichtslage

[math]x=z-\frac{mg}{D}[/math]

womit sich die Gleichung vereinfacht

[math]-Dx=m\ddot x[/math]

oder

[math]Dx+m\ddot x=0[/math]

Die Lösung dieser Gleichung entspricht einer harmonischen Schwingung mit der Kreisfrequenz

[math]\omega^2=\frac{D}{m}[/math]

oder der Schwingungsdauer

[math]T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}[/math]