Federpendel

Aus SystemPhysik
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Ein Federpendel besteht aus einer linearen Feder und einem daran befestigten Körper besteht. Lenkt man den an der Feder hängenden Körper aus und lässt ihn dann los, bewegt er sich danach auf und ab. Hätte die Feder eine exakt lineare Charakteristik und könnte man jegliche Reibung (Luftwiderstand, innere Reibung der Feder) vernachlässigen, wäre das Federpendel ein harmonischer Oszillator.

Schwingungsgleichung

Schneidet man den Körper frei, findet man drei Kräfte, die Gewichtskraft, die Federkraft und die Kraft der Luft. Die Luftkraft kann in einen statischen Teil (Auftrieb) und einen dynamischen (Luftwiderstand) zerlegt werden. Wählt man die positive Richtung der z-Achse nach unten und den Nullpunkt am Ort des Körpers bei entspannter Feder, lautet die Impulsbilanz oder das Grundgesetz der Mechanik

[math]F_G-F_F\mp F_W=ma[/math]

wobei das Vorzeichen des Luftwiderstandes von der Bewegungsrichtung abhängt. Vernachlässigt man nun den Luftwiderstand und setzt für die beiden andern Kräfte die entsprechenden Gesetze ein, erhält man die Differentialgleichung

[math]mg-Dz=m\ddot z[/math]

Nun verschiebt man mittels einer Variablentransformation den Nullpunkt in die Gleichgewichtslage

[math]s=z-\frac{mg}{D}[/math]

womit sich die Gleichung vereinfacht

[math]-Ds=m\ddot s[/math]

oder

[math]Ds+m\ddot s=0[/math]

Die Lösung dieser Gleichung entspricht einer harmonischen Schwingung mit der Kreisfrequenz

[math]\omega^2=\frac{D}{m}[/math]

oder der Schwingungsdauer

[math]T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}[/math]

Energie

Das System Federpendel speichert auf drei Arten Energie:

  • kinetische Energie (Energie, die zusammen mit dem Impuls gespeichert ist): [math]W_{kin}=\frac{m}{2}{\dot z}^2=\frac{p^2}{2m}[/math]
  • Gravitatationsenergie (Energie, die im Gravitationsfeld gespeichert ist): [math]W_G=-mgz[/math]
  • Federenergie (elastisch frei setzbarer Anteil der inneren Energie der Feder): [math]W_{Feder}=\frac{D}{2}z^2[/math]

Kinetische Energie und Federenergie sind positiv, die Gravitationsenergie ist hier negativ, solange die Feder gedehnt ist (das System verhält sich nur solange stabil, wie die Feder gedehnt ist). Transformiert man das System auf eine Ortsvariable mit Nullpunkt in der Gleichgewichtslage (s-Koordinate), können Feder und Gravitationsenergie zur potentiellen Energie zusammengefasst werden.

Die Arbeit der beiden Kräfte kann dem Kraft-Weg-Diagramm entnommen werden. Die Leistung der Kräfte beschreibt den Energieaustausch in Form des zugeordneten Energiestroms. Zur Formulierung der Energiebilanz (auch Leistungsbilanz genannt) multipliziert man die Impulsbilanz (Grundgesetz) mit der momentanen Geschwindigkeit

[math]Dz\dot z-mgz\dot z=m\ddot z\dot z[/math]

Links stehen die Leistungen der beiden Kräfte und rechts die Änderungsrate der kinetischen Energie

[math]P(F_F)+P(F_G)=\dot W_{kin}[/math]

Modelliert man den Prozess mittels eines systemdynamischen Werkzeugs, bildet die Impulsbilanz den Kern des Modells. Die Energiebilanz kann dann als zusätzliche Ebene eingefügt werden.

Dämpfung

Die Bewegung des Körpers kann auf verschiedene Arten gedämpft werden, durch die umgebende Luft, durch die innere Reibung der Feder oder durch einen seriell angebrachten, linearen Dämpfer. Dann lautet das Grundgesetz (Impulsbilanz)

[math]F_G-F_R-F_F=m\ddot z[/math]

wobei für die Reibung drei verschiedene Gesetzmässigkeiten denkbar sind

  • Coulomb-Reibung (in der Feder): [math]F_R=F_0 sign(\dot z)[/math]
  • viskose Reibung (linearer Dämpfer): [math]F_R=k_1\dot z[/math]
  • turbulente Reibung (Luftwiderstand): [math]F_R=k_2\vert\dot z\vert\dot z[/math]

Mathematisch wird meist nur die lineare Dämpfung untersucht. Dann lautet die (transformierte) Differentialgleichung

[math]-F_R-F_F=m\ddot s[/math]

oder

[math]m\ddot s+k_1\dot s+Ds=0[/math]

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