Lösung zu Badewanne

1. Die zuzuführende Wärmeenergie ist gleich der Änderung der Enthalpie des Wassers [math]\Delta H = m c \Delta T[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * 25 K = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz.
2. Weil W₃ = W₄ = ΔH ist, ist die von der Wärmepumpe bei 50°C abgegebene Entropie S₃ gleich [math]S_3 = \frac {W_3}{T_2} = \frac {\Delta H}{T_2}[/math] = 18.86 MJ / 323 K = 58.4 kJ/K. Um die Entropie S₁ = S₂ = S₃ um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe die Energie W_WP im Umfang von [math]W_{WP} = (T_2 - T_1) \cdot S_1[/math] = 50 K * 58.4 kJ/K = 2.92 MJ oder 0.81 kWh.
3. Die Entropie des Badewassers nimmt um [math]\Delta S = m c \ln{\frac{T_{2e}}{T_{2a}}}[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * ln(313 K / 288 K) = 62.8 kJ/K zu. Die ausgetauschte Entropiemenge S₂, welche diese Entropiezunahme ΔS bewirkte, ist gleich S₁. Diese trägt eine Wärmeenergie von [math]W_1 = T_1 S_1[/math] = 17.77 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zu W₂ aufbringen. Deshalb wird W_WP = W₂ - W₁ = ΔH - W₁ = 18.86 MJ - 17.77 MJ = 1.09 MJ (0.3 kWh).
4. Die Enthalpie des Badewassers ändert sich um [math]\Delta H = m c \Delta T[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * (- 20 K) = -15.1 MJ und die Entropie um [math]\Delta S = m c \ln{\frac{T_{1e}}{T_{1a}}}[/math] = 180 kg * 4.19kJ/kg/K * ln(283 K / 303 K) = - 51.5 kJ/K. Die ausgetauschte Entropie S₁ ist gleich dieser Entropieänderung. Weil reversibel, ist S1 = S2. S2 trägt [math]W2 = T_2 \cdot S_2 = T_2 \cdot (- \Delta S[/math]) = 283 K * 51.5 kJ/K = 14.6 MJ als thermische Energie in das Grundwasser. Die Differenz W_KM = W₁ - W₂ = - ΔH - W₂ = 15.1 MJ - 14.6 MJ = 0.5 MJ ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 0.5 MJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm).

Aufgabe