Lösung zu Langes Rohr

In einem ersten Schritt muss untersucht werden, ob die Strömung laminar oder turbulent ist. Dazu berechnen wir den kritischen Volumenstrom:

[math]I_{V_{krit}}=\frac{R_V}{k}=\frac{\frac {128 \eta l}{\pi d^4}}{\lambda \frac {8 \varrho l}{\pi^2d^5}}=\frac{16\pi\eta d} {\lambda\varrho}[/math] = 5.38 l/s = 323 l/min

Dieser Wert, der mit λ = 0.02 gerechnet worden ist, liegt deutlich höher als die gegebene Volumenstromstärke ab. Folglich ist der Volumenstrom laminar und der Widerstand beträgt

[math]R_V=\frac{128 \eta l}{\pi d^4}[/math] = 9.4 10⁷ Pas/m³

Die Rohrreibungszahl λ hängt von der Rauheit des Rohres und von der mittleren Strömungsgeschwindigkeit. Im Grenzgebiet zwischen laminar und turbulent rechnet man mit einer Rohrreibungszahl von 0.028, was einen kritischen Volumenstrom von 232 l/min ergibt.

1. Im Rohr laufen zwei Prozesse ab, ein gravitativer und ein hydraulischer

• Druckabfall im Gravitationsprozess: Δp_G = ρ g Δ h = 0.29 bar

• Druckabfall im hydraulischen Prozess: Δp_H = R_V1 I_V = 1.17 bar

• Totaler Druckabfall: Δp_tot = 1.46 bar

2. Leistung des gravitativen und des hydraulischen Prozesses

• P_G = Δp_G I_V = g Δ h I_m = 36.5 W

• P_hyd = Δp_H I_V = R_V1 I_V² = 146 W (diese Prozessleistung wird dissipiert, d.h. das Öl heizt sich mit dieser Zuwachsrate an inneren Energie auf)

• P_tot = 182 W

3. Der Widerstand des 2. Rohres ist umgekehrt proportional zur 4. Potenz des Durchmessers; für parallele Widerstände werden ihre Kehrwerte addiert

• R_V2 = (d₁ / d₂)⁴ * R_V1 = 3.3 10⁸ Pas/m³

• R_{V tot} = 7.3 10⁷ Pas/m³

• I_{V tot} = Δp_H / R_{V tot} = 96 l/min