Lösung zu Langes Rohr: Unterschied zwischen den Versionen
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In einem ersten Schritt muss untersucht werden, ob die Strömung laminar oder turbulent ist. Dazu berechnen wir den kritischen Volumenstrom: |
In einem ersten Schritt muss untersucht werden, ob die Strömung laminar oder turbulent ist. Dazu berechnen wir den kritischen Volumenstrom: |
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| − | :<math>I_{V_{krit}}=\frac{R_V}{k}=\frac{\frac {128 \eta l}{\pi d^4}}{\lambda \frac {8 \varrho l}{\pi^2d^5}}=\frac{16\pi\eta d} {\lambda\varrho}</math> |
+ | :<math>I_{V_{krit}}=\frac{R_V}{k}=\frac{\frac {128 \eta l}{\pi d^4}}{\lambda \frac {8 \varrho l}{\pi^2d^5}}=\frac{16\pi\eta d} {\lambda\varrho} = \frac{16\pi * 0.07 Pas * 0.026 m} {0.02 * 850 kg/m^3} = </math> 5.38 l/s = 323 l/min |
| − | Dieser Wert, der mit ''λ'' = 0.02 gerechnet worden ist, liegt deutlich höher als die gegebene Volumenstromstärke |
+ | Dieser Wert, der mit ''λ'' = 0.02 gerechnet worden ist, liegt deutlich höher als die gegebene Volumenstromstärke von 75 l/min = 1.25 l/s. Folglich ist der Volumenstrom laminar und der Widerstand beträgt |
| − | :<math>R_V=\frac{128 \eta l}{\pi d^4}</math> = 9. |
+ | :<math>R_V=\frac{128 \eta l}{\pi d^4} = \frac{128 * 0.07 Pas * 15 m}{\pi (0.026 m)^4}</math> = 9.36 10<sup>7</sup> Pas/m<sup>3</sup> |
| + | 1. Im Rohr laufen drei [[Prozessleistung|Prozesse]] ab: ein hydraulischer Prozess treibt einen gravitativen und einen dissipativen (thermischen) Prozess an. Die hydraulische Prozesslleistung wird aus Volumenstrom und totaler Druckdifferenz zwischen Anfang und Ende des Rohrs berechnet. Die beiden anderen Prozessleistungen siehe unter 2. |
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| − | Die [[Rohrreibungszahl]] ''λ'' hängt von der Rauheit des Rohres und von der mittleren Strömungsgeschwindigkeit. Im Grenzgebiet zwischen laminar und turbulent rechnet man mit einer Rohrreibungszahl von 0.028, was einen kritischen Volumenstrom von 232 l/min ergibt. |
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| + | *Gravitative Druckdifferenz im Gravitationsprozess: ''Δp<sub>G</sub> = ρ g Δ h'' = 850 kg/m<sup>3</sup> * 9.81 N/kg * 3.5 m = 0.292 bar |
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| − | 1. Im Rohr laufen zwei [[Prozessleistung|Prozesse]] ab, ein gravitativer und ein hydraulischer |
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| − | * |
+ | *Resistive Druckdifferenz im dissipativen Prozess: ''Δp<sub>R</sub> = R<sub>V1</sub> I<sub>V</sub>'' = 9.36 10<sup>7</sup> Pas/m<sup>3</sup> * 1.25 l/s = 1.17 bar |
| − | * |
+ | *Totale Druckdifferenz im hydraulischen Prozess: ''Δp<sub>hyd</sub> = Δ p<sub>G</sub> + Δ p <sub>R</sub>'' = 0.292 bar + 1.17 bar = 1.46 bar |
| + | 2. Die gravitative und die dissipative Prozessleistung sind: |
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| − | *Totaler Druckabfall: ''Δp<sub>tot</sub>'' = 1.46 bar |
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| + | *''P<sub>G</sub> = Δφ<sub>G</sub> I<sub>m</sub> = g Δh ρ I<sub>V</sub>'' = 9.81 N/kg * 3.5 m * 850 kg/m<sup>3</sup> * 1.25 l/s = 36.5 W |
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| − | 2. Leistung des gravitativen und des hydraulischen Prozesses |
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| − | *''P<sub> |
+ | *''P<sub>diss</sub> = Δp<sub>R</sub> I<sub>V</sub> = R<sub>V1</sub> I<sub>V</sub><sup>2</sup>'' = 9.36 10<sup>7</sup> Pas/m<sup>3</sup> * (1.25 l/s)<sup>2</sup> = 146 W (diese [[Prozessleistung]] wird [[Dissipation|dissipiert]], d.h. das Öl heizt sich mit dieser Zuwachsrate an [[innere Energie|inneren Energie]] auf) |
| + | Um das Öl durch das Rohrstück zu pumpen, braucht es deshalb eine hydraulische Prozessleistung oder Energie pro Zeit von: |
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| − | *''P<sub>hyd</sub> = Δp<sub>H</sub> I<sub>V</sub> = R<sub>V1</sub> I<sub>V</sub><sup>2</sup>'' = 146 W (diese [[Prozessleistung]] wird [[Dissipation|dissipiert]], d.h. das Öl heizt sich mit dieser Zuwachsrate an [[innere Energie|inneren Energie]] auf) |
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| − | *''P<sub> |
+ | *''P<sub>hyd</sub> = P<sub>G</sub> + P<sub>diss</sub>'' = 182 W |
3. Der Widerstand des 2. Rohres ist umgekehrt proportional zur 4. Potenz des Durchmessers; für parallele Widerstände werden ihre Kehrwerte addiert |
3. Der Widerstand des 2. Rohres ist umgekehrt proportional zur 4. Potenz des Durchmessers; für parallele Widerstände werden ihre Kehrwerte addiert |
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| − | *''R<sub>V2</sub> = (d<sub>1</sub> / d<sub>2</sub>)<sup>4</sup> * R<sub>V1</sub>'' = |
+ | *''R<sub>V2</sub> = (d<sub>1</sub> / d<sub>2</sub>)<sup>4</sup> * R<sub>V1</sub>'' = (0.026 m / 0.019 m)<sup>4</sup> * 9.36 10<sup>7</sup> Pas/m<sup>3</sup> = 3.28 10<sup>8</sup> Pas/m<sup>3</sup> |
| − | *''R<sub>V tot</sub>'' = 7. |
+ | *''R<sub>V tot</sub> = 1 / ( 1/R<sub>V1</sub> + 1/R<sub>V2</sub> )'' = 7.28 10<sup>7</sup> Pas/m<sup>3</sup> |
| − | *''I<sub>V tot</sub> = Δp<sub> |
+ | *''I<sub>V tot</sub> = Δp<sub>R</sub> / R<sub>V tot</sub>'' = 1.61 l/s = 96.4 l/min |
'''[[langes Rohr|Aufgabe]]''' |
'''[[langes Rohr|Aufgabe]]''' |
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Aktuelle Version vom 8. Oktober 2009, 14:54 Uhr
In einem ersten Schritt muss untersucht werden, ob die Strömung laminar oder turbulent ist. Dazu berechnen wir den kritischen Volumenstrom:
- [math]I_{V_{krit}}=\frac{R_V}{k}=\frac{\frac {128 \eta l}{\pi d^4}}{\lambda \frac {8 \varrho l}{\pi^2d^5}}=\frac{16\pi\eta d} {\lambda\varrho} = \frac{16\pi * 0.07 Pas * 0.026 m} {0.02 * 850 kg/m^3} = [/math] 5.38 l/s = 323 l/min
Dieser Wert, der mit λ = 0.02 gerechnet worden ist, liegt deutlich höher als die gegebene Volumenstromstärke von 75 l/min = 1.25 l/s. Folglich ist der Volumenstrom laminar und der Widerstand beträgt
- [math]R_V=\frac{128 \eta l}{\pi d^4} = \frac{128 * 0.07 Pas * 15 m}{\pi (0.026 m)^4}[/math] = 9.36 107 Pas/m3
1. Im Rohr laufen drei Prozesse ab: ein hydraulischer Prozess treibt einen gravitativen und einen dissipativen (thermischen) Prozess an. Die hydraulische Prozesslleistung wird aus Volumenstrom und totaler Druckdifferenz zwischen Anfang und Ende des Rohrs berechnet. Die beiden anderen Prozessleistungen siehe unter 2.
- Gravitative Druckdifferenz im Gravitationsprozess: ΔpG = ρ g Δ h = 850 kg/m3 * 9.81 N/kg * 3.5 m = 0.292 bar
- Resistive Druckdifferenz im dissipativen Prozess: ΔpR = RV1 IV = 9.36 107 Pas/m3 * 1.25 l/s = 1.17 bar
- Totale Druckdifferenz im hydraulischen Prozess: Δphyd = Δ pG + Δ p R = 0.292 bar + 1.17 bar = 1.46 bar
2. Die gravitative und die dissipative Prozessleistung sind:
- PG = ΔφG Im = g Δh ρ IV = 9.81 N/kg * 3.5 m * 850 kg/m3 * 1.25 l/s = 36.5 W
- Pdiss = ΔpR IV = RV1 IV2 = 9.36 107 Pas/m3 * (1.25 l/s)2 = 146 W (diese Prozessleistung wird dissipiert, d.h. das Öl heizt sich mit dieser Zuwachsrate an inneren Energie auf)
Um das Öl durch das Rohrstück zu pumpen, braucht es deshalb eine hydraulische Prozessleistung oder Energie pro Zeit von:
- Phyd = PG + Pdiss = 182 W
3. Der Widerstand des 2. Rohres ist umgekehrt proportional zur 4. Potenz des Durchmessers; für parallele Widerstände werden ihre Kehrwerte addiert
- RV2 = (d1 / d2)4 * RV1 = (0.026 m / 0.019 m)4 * 9.36 107 Pas/m3 = 3.28 108 Pas/m3
- RV tot = 1 / ( 1/RV1 + 1/RV2 ) = 7.28 107 Pas/m3
- IV tot = ΔpR / RV tot = 1.61 l/s = 96.4 l/min