Lösung zu Wanne mit Abfluss
Das Gesetz von Bernoulli erlaubt es uns, längs einer reibungsfreien, instationären Strömung eines inkompessiblen Fluids die Summe aus drei Termen (Energiebeladungsmass des Volumenstromes) gleich zu setzen. Folglich kann man für die drei Punkte Wasseroberfläche (1), Ausfluss (2) und zwei Meter über dem Ausfluss (3) den Bernoulli-Term formulieren, die drei Terme wahlweise gleichsetzen und nach der gesuchten Grösse auflösen. Für die drei Punkte gilt (h = 4 m, h3 = 2 m)
- Wasseroberfläche: [math]p_1 + \frac {\rho}{2}v_1^2 + \rho g h_1 = p_L + \rho g h[/math]
- Ausfluss: [math]p_2 + \frac {\rho}{2}v_2^2 + \rho g h_2 = p_L + \frac {\rho}{2}v^2 [/math]
- im Rohr: [math]p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3 = p_3 + \frac {\rho}{2}v_3^2 + \rho g h_3[/math]
1. Setzt man die Terme in den Punkten 1 und 2 gleich, gewinnt man das Ausflussgesetz von Torricelli und unter Beizug der Kontinuitätsgleichung die Stärke des Volumenstromes
- [math]I_V = Av = A \sqrt{2 g h}[/math] = 6.26 l/s
2. Der Druck im Punkt 3 folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme von 2 und 3 sowie unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung für das Volumen.
- [math]p_3 = p_L + \frac {\rho}{2}v^2 - \frac {\rho}{2}v_3^2 - \rho g h_3 = p_L + \frac {\rho}{2}v^2 \left(1 - \frac{A_2^2}{A_3^2}\right) - \rho g h_3 = p_L + \rho g \left[ h \left( 1 - \frac{A_2^2}{A_3^2} \right) - h_3 \right][/math] = 1.065 bar
In der letzten Umformung ist nochmals der Bernoulli-Term von Punkt 1 verwendet worden. Im zylindrischen Teil des Rohres nimmt der Druck nach oben wie in einem ruhenden Gefäss ab.