Lineare passive Zweipole

Begriff

Als einen Zweipol, auch Eintor genannt, bezeichnet man in der Elektrotechnik ein Bauelement oder eine Schaltung mit zwei Klemmen. Das Klemmverhalten wird durch Spannungs-Strom-Verhalten (U-I-Relation) beschrieben.

Passive Zweipole beziehen ihre Energie aus dem Stromkreis; sie wirken nicht als Energieumlader. Unter linear versteht man hier die Proportionalität von Strom und Spannung bzw. ihren Änderungsraten.

Man unterteilt die linearen passiven Zweipole in drei Elemente:

• resistiv: Stromstärke und Spannung sind proportional
• kapazitiv: die Stromstärke ist proportional zur Änderungsrate der Spannung
• induktiv: die Änderungsrate der Stromstärke ist proportional zur Spannung

Reale Zweipole zeigen alle drei Verhalten, wobei das eine häufig dominiert.

Die Kapazität eines Kondensators, der Widerstand einer leitenden Verbindung und die Induktivität einer Spule hängen vom Material und der Geometrie des Systems ab.

Systemgleichungen

Die Linearität des Zweipolverhaltens ermöglicht die Beschreibung des Systemverhaltens mit einer einzigen Konstanten:

• Widerstand R mit der Einheit Ohm (Ω) für ein rein resistives Glied
• Kapazität C mit der Einheit Fahrad (F) für eine rein kapazitives Glied
• Induktivität L mit der Einheit Henri (H) für eine rein induktives Glied

Zweipol	Einheit	momentan	integral
Kapazität C	Farad F	[math]C \dot U = I[/math]	[math]C U = \int I dt = Q_{geflossen}[/math]
Widerstand R	Ohm Ω	[math]U = R I[/math]
Leitwert R	Siemens S	[math]G U = I[/math]
Induktivität L	Henri H	[math]U = L \dot I[/math]	[math]\int U dt = L I[/math]

Leitwert und Widerstand sind reziprok zueinander. Bei Serieschaltung werden die Widerstände direkt zum Ersatzwiderstand und Leitwerte reziprok zum reziproken Ersatzleitwert addiert. Bei Parallelschaltung müssen die Leitwerte direkt und die Widerstände reziprok addiert werden. Kapazitäten verhalten sich bei Serie- und Parallelschaltung wie Leitwerte, Induktivitäten wie Widerstände.

Energiebetrachtung

Die Prozessleistung über einem elektrischen Zweipol ist gleich Spannung mal Stromstärke

[math]P = U I[/math]

Setzt man in diese Beziehung die konstutiven Gleichungen für die Systemeigenschaften der drei linearen passiven Zweipole ein erhält man die vom Stromkreis umgesetzte Leistung und nach einer Integration über die Zeit die vom System gespeicherte Energie

Zweipol	Leistung	Einheit	Energie
Kapazität C	[math]P = U I = C U \dot U[/math]	W = F V2/s	[math]W = \frac{1}{2}C U^2 = \frac{Q^2}{2C}[/math]
Widerstand R	[math]P = U I = R I^2 = \frac {U^2}{R}[/math]	W = Ω A2
Leitwert S	[math]P = U I = G U^2 = \frac {I^2}{G}[/math]	W = S V2
Induktivität L	[math]P = U I= L I \dot I[/math]	W = H A2	[math]W = \frac{1}{2}L I^2[/math]

Kapazität und Induktivität sind Energiespeicher. Im Widerstand wird Energie dissipiert, wird mit Hilfe der vom Strom freigesetzten Energie Entropie erzeugt.

Systemdynamische Modelle

Das Verhalten konzentrierter dynamischer Systeme simuliert man durch Integration über die Zeit. Dazu muss das Systemverhalten nach der höchsten zeitlichen Ableitung aufgelöst werden. Da in der Physik der dynamischen Systeme die Systemeigenschaften nach dem Legoprinzip formuliert werden, treten nur erste Ableitungen nach der Zeit (Änderungsraten) auf. Änderungsraten werden als Flüsse (flow) und die Grösse selber als Topf (Stock) dargestellt.