Kinematik

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Die Kinematik (gr.: kinema, Bewegung) ist die Lehre von der Bewegung von Körpern im Raum, beschrieben durch die Grössen Ort (Position) r, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a, ohne die Ursachen einer Bewegung (Impulsaustausch) zu betrachten. Die Kinematik ist wie die Dynamik, die den Austausch von Impuls (Kräften), Drehimpuls (Drehmomenten) und Energie (zugeordneter Energiestrom) beschreibt, ein Teilgebiet der Mechanik.

Translation

Die Position eines ausgewählten Punktes auf einem Körper ist durch drei Koordinaten (Freiheitsgrade) im dreidimensionalen Raum bestimmt.

Die Geschwindigkeit [math]\vec v(t)[/math] ist die Ableitung des Ortsvektors [math]\vec r(t)[/math] nach der Zeit

[math]\dot\vec r (t)=\vec v(t)[/math]

Die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit oder die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit heisst Beschleunigung

[math]\ddot\vec r (t)=\dot\vec v(t)=\vec a(t)[/math]

Ein Punkt über einer Grösse bezeichnet ihre zeitliche Ableitung.

eindimensional

Bewegt sich der Körper längs einer Geraden, kann dessen Position mit Hilfe einer einzigen Zahl angegeben werden, dem Ort bezüglich eines frei gewählten Nullpunktes. Der Graph der Orts-Zeit-Funktion wird fälschlicherweise oft mit Weg-Zeit-Diagramm statt Orts-Zeit-Diagramm bezeichnet. Im Orts-Zeit-Diagramm erscheint die Geschwindigkeit als Steigung.

Zu Analyse eindimensionaler Bewegungen sollte man immer das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeichnen. Dieses Diagramm beschreibt das Füllzustand-Zeit-Verhalten eines Körpers bezüglich der Grösse Impuls (siehe Flüssigkeitsbild). In diesem v-t-Diagramm erscheint die Strecke (Ortsveränderung) als Fläche und die Beschleunigung als Steigung.

Die im Unterricht am weitaus meist untersuchte Bewegung ist konstant beschleunigt. Integriert man die konstante Beschleunigung (a) auf, erhält man die Geschwindigkeit. Eine zweite Integration liefert den Ort. Formal lautet die Lösung dieses Problems

[math]x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2[/math]
[math]v=v_0+at[/math]

Die drei Parameter Anfangsort, Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung können positive oder negative Werte annehmen. Der vertikale Wurf und das bremsende Auto sind zwei Bewegungen, bei der die Beschleunigung ungefähr konstant bleibt.

Der harmonische Oszillator ist eine weitere Bewegung, die einfach zu beschreiben ist. Dieses System wird in der Regel durch einen an einer Schraubenfeder hängenden Klotz repräsentiert. Das Orts-Zeit-Verhalten des harmonischen Oszillators kann mit einer Sinusfunktion beschrieben werden

[math]x=x_0\sin(\omega t+\varphi)[/math]

Die Kreisfrequenz ω ist durch die Masse des Klotzes und die Federkonstante festgelegt. Leitet man die Orts-Zeit-Funktion nach der Zeit ab, erhält man die Geschwindigkeit

[math]v=\omega x_0\cos(\omega t+\varphi)=v_0\cos(\omega t+\varphi)[/math]

eine weitere Ableitung liefert die Beschleunigung

[math]a=-\omega^2 x_0\sin(\omega t+\varphi)=-a_0\sin(\omega t+\varphi)[/math]

mehrdimensional

In der Ebene und im Raum wird der Ortsvektor bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems in seine Komponenten aufgeteilt. Danach gelten für jede der zwei bis drei Koordinaten die weiter oben formulierten Zusammenhänge.

Im Unterricht werden oft nur zwei spezielle Bewegungen in der Ebene besprochen, der schiefer Wurf und die gleichmässige Kreisbewegung.

Rotation

Weblinks